MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem odumeet 16434
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odumeet.j  |-  .\/  =  ( join `  O )
Assertion
Ref Expression
odumeet  |-  .\/  =  ( meet `  D )

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  O )
2 oduglb.d . . . . . . 7  |-  D  =  (ODual `  O )
3 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
42, 3oduglb 16433 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
54breqd 4426 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( { a ,  b }  ( lub `  O
) c  <->  { a ,  b }  ( glb `  D ) c ) )
65oprabbidv 6371 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  {
a ,  b }  ( lub `  O
) c }  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  { a ,  b }  ( glb `  D
) c } )
7 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( join `  O )  =  (
join `  O )
83, 7joinfval 16295 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  { a ,  b }  ( lub `  O
) c } )
9 fvex 5897 . . . . . 6  |-  (ODual `  O )  e.  _V
102, 9eqeltri 2535 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
11 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
12 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( meet `  D )  =  (
meet `  D )
1311, 12meetfval 16309 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  { a ,  b }  ( glb `  D
) c } )
1410, 13mp1i 13 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  { a ,  b }  ( glb `  D
) c } )
156, 8, 143eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  ( meet `  D
) )
16 fvprc 5881 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  (/) )
17 fvprc 5881 . . . . . . 7  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
182, 17syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1918fveq2d 5891 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  ( meet `  (/) ) )
20 meet0 16431 . . . . 5  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  (/) )
2216, 21eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  ( meet `  D
) )
2315, 22pm2.61i 169 . 2  |-  ( join `  O )  =  (
meet `  D )
241, 23eqtri 2483 1  |-  .\/  =  ( meet `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1454    e. wcel 1897   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   {cpr 3981   class class class wbr 4415   ` cfv 5600   {coprab 6315   lubclub 16235   glbcglb 16236   joincjn 16237   meetcmee 16238  ODualcodu 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ple 15258  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-odu 16423
This theorem is referenced by:  odulatb  16437  latdisd  16484  odudlatb  16490  dlatjmdi  16491
  Copyright terms: Public domain W3C validator