MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oduleval 16455
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduval.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
oduleval  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  e. 
_V
21cnvex 6759 . . . 4  |-  `' ( le `  O )  e.  _V
3 pleid 15370 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
43setsid 15242 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  `' ( le `  O )  e.  _V )  ->  `' ( le
`  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
52, 4mpan2 685 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
63str0 15239 . . . 4  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
7 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  O )  =  (/) )
87cnveqd 5015 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  `' (/) )
9 cnv0 5245 . . . . 5  |-  `' (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  (/) )
11 reldmsets 15222 . . . . . 6  |-  Rel  dom sSet
1211ovprc1 6339 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. )  =  (/) )
1312fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )  =  ( le `  (/) ) )
146, 10, 133eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  ( le
`  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
) )
155, 14pm2.61i 169 . 2  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
16 oduval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
1716cnveqi 5014 . 2  |-  `'  .<_  =  `' ( le `  O )
18 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
19 eqid 2471 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
2018, 19oduval 16454 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
2120fveq2i 5882 . 2  |-  ( le
`  D )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
2215, 17, 213eqtr4i 2503 1  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   <.cop 3965   `'ccnv 4838   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   lecple 15275  ODualcodu 16452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-sets 15205  df-ple 15288  df-odu 16453
This theorem is referenced by:  oduleg  16456  odupos  16459  oduposb  16460  oduglb  16463  odulub  16465  posglbd  16474  oduprs  28492  odutos  28499  ordtcnvNEW  28800  ordtrest2NEW  28803
  Copyright terms: Public domain W3C validator