MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Unicode version

Theorem oduleval 15960
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduval.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
oduleval  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  e. 
_V
21cnvex 6720 . . . 4  |-  `' ( le `  O )  e.  _V
3 pleid 14883 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
43setsid 14759 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  `' ( le `  O )  e.  _V )  ->  `' ( le
`  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
52, 4mpan2 669 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
63str0 14756 . . . 4  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
7 fvprc 5842 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  O )  =  (/) )
87cnveqd 5167 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  `' (/) )
9 cnv0 5394 . . . . 5  |-  `' (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  (/) )
11 reldmsets 14739 . . . . . 6  |-  Rel  dom sSet
1211ovprc1 6301 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. )  =  (/) )
1312fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )  =  ( le `  (/) ) )
146, 10, 133eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  ( le
`  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
) )
155, 14pm2.61i 164 . 2  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
16 oduval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
1716cnveqi 5166 . 2  |-  `'  .<_  =  `' ( le `  O )
18 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
19 eqid 2454 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
2018, 19oduval 15959 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
2120fveq2i 5851 . 2  |-  ( le
`  D )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
2215, 17, 213eqtr4i 2493 1  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   <.cop 4022   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   lecple 14791  ODualcodu 15957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-sets 14722  df-ple 14804  df-odu 15958
This theorem is referenced by:  oduleg  15961  odupos  15964  oduposb  15965  oduglb  15968  odulub  15970  posglbd  15979  oduprs  27878  odutos  27885  ordtcnvNEW  28137  ordtrest2NEW  28140
  Copyright terms: Public domain W3C validator