MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Unicode version

Theorem oduclatb 15437
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
Assertion
Ref Expression
oduclatb  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )

Proof of Theorem oduclatb
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . 2  |-  ( O  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
2 noel 3752 . . . . 5  |-  -.  (
( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/)
3 ssid 3486 . . . . . 6  |-  (/)  C_  (/)
4 base0 14335 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
64, 5clatlubcl 15405 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  CLat  /\  (/)  C_  (/) )  -> 
( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
73, 6mpan2 671 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  CLat  ->  ( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
82, 7mto 176 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  CLat
9 oduglb.d . . . . . 6  |-  D  =  (ODual `  O )
10 fvprc 5796 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
119, 10syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1211eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( D  e.  CLat  <->  (/)  e.  CLat ) )
138, 12mtbiri 303 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  -.  D  e.  CLat )
1413con4i 130 . 2  |-  ( D  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
159oduposb 15429 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  Poset  <->  D  e.  Poset
) )
16 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) ) )
17 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
189, 17odulub 15434 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1918dmeqd 5153 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  dom  ( glb `  O )  =  dom  ( lub `  D ) )
2019eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  <->  dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) )
21 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
229, 21oduglb 15432 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
2322dmeqd 5153 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  dom  ( lub `  O )  =  dom  ( glb `  D ) )
2423eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  <->  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) )
2520, 24anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  D
)  =  ~P ( Base `  O ) ) ) )
2616, 25syl5bb 257 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  D
)  =  ~P ( Base `  O ) ) ) )
2715, 26anbi12d 710 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( O  e.  Poset  /\  ( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) ) )  <->  ( D  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) ) ) )
28 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
2928, 21, 17isclat 15402 . . 3  |-  ( O  e.  CLat  <->  ( O  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )
) ) )
309, 28odubas 15426 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
31 eqid 2454 . . . 4  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
32 eqid 2454 . . . 4  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
3330, 31, 32isclat 15402 . . 3  |-  ( D  e.  CLat  <->  ( D  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) ) )
3427, 29, 333bitr4g 288 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat ) )
351, 14, 34pm5.21nii 353 1  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   dom cdm 4951   ` cfv 5529   Basecbs 14296   Posetcpo 15233   lubclub 15235   glbcglb 15236   CLatccla 15400  ODualcodu 15421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ple 14381  df-poset 15239  df-lub 15267  df-glb 15268  df-clat 15401  df-odu 15422
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator