MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Unicode version

Theorem oduclatb 15648
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
Assertion
Ref Expression
oduclatb  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )

Proof of Theorem oduclatb
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2  |-  ( O  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
2 noel 3794 . . . . 5  |-  -.  (
( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/)
3 ssid 3528 . . . . . 6  |-  (/)  C_  (/)
4 base0 14546 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
64, 5clatlubcl 15616 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  CLat  /\  (/)  C_  (/) )  -> 
( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
73, 6mpan2 671 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  CLat  ->  ( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
82, 7mto 176 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  CLat
9 oduglb.d . . . . . 6  |-  D  =  (ODual `  O )
10 fvprc 5866 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
119, 10syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1211eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( D  e.  CLat  <->  (/)  e.  CLat ) )
138, 12mtbiri 303 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  -.  D  e.  CLat )
1413con4i 130 . 2  |-  ( D  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
159oduposb 15640 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  Poset  <->  D  e.  Poset
) )
16 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
189, 17odulub 15645 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1918dmeqd 5211 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  dom  ( glb `  O )  =  dom  ( lub `  D ) )
2019eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  <->  dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) )
21 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
229, 21oduglb 15643 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
2322dmeqd 5211 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  dom  ( lub `  O )  =  dom  ( glb `  D ) )
2423eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O )  <->  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) )
2520, 24anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( lub `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  D
)  =  ~P ( Base `  O ) ) ) )
2616, 25syl5bb 257 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) )  <-> 
( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  D
)  =  ~P ( Base `  O ) ) ) )
2715, 26anbi12d 710 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( O  e.  Poset  /\  ( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O )  /\  dom  ( glb `  O
)  =  ~P ( Base `  O ) ) )  <->  ( D  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) ) ) )
28 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
2928, 21, 17isclat 15613 . . 3  |-  ( O  e.  CLat  <->  ( O  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  O )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  O )  =  ~P ( Base `  O )
) ) )
309, 28odubas 15637 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
31 eqid 2467 . . . 4  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
32 eqid 2467 . . . 4  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
3330, 31, 32isclat 15613 . . 3  |-  ( D  e.  CLat  <->  ( D  e. 
Poset  /\  ( dom  ( lub `  D )  =  ~P ( Base `  O
)  /\  dom  ( glb `  D )  =  ~P ( Base `  O )
) ) )
3427, 29, 333bitr4g 288 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat ) )
351, 14, 34pm5.21nii 353 1  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   dom cdm 5005   ` cfv 5594   Basecbs 14507   Posetcpo 15444   lubclub 15446   glbcglb 15447   CLatccla 15611  ODualcodu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ple 14592  df-poset 15450  df-lub 15478  df-glb 15479  df-clat 15612  df-odu 15633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator