MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odubas Structured version   Unicode version

Theorem odubas 15423
Description: Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odubas.b  |-  B  =  ( Base `  O
)
Assertion
Ref Expression
odubas  |-  B  =  ( Base `  D
)

Proof of Theorem odubas
StepHypRef Expression
1 baseid 14339 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9497 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1lt10 10644 . . . . 5  |-  1  <  10
42, 3ltneii 9599 . . . 4  |-  1  =/=  10
5 basendx 14343 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
6 plendx 14452 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
75, 6neeq12i 2741 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  1  =/=  10 )
84, 7mpbir 209 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( le `  ndx )
91, 8setsnid 14335 . 2  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  ( O sSet  <.
( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )
10 odubas.b . 2  |-  B  =  ( Base `  O
)
11 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
12 eqid 2454 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
1311, 12oduval 15420 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
1413fveq2i 5803 . 2  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  ( O sSet  <.
( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )
159, 10, 143eqtr4i 2493 1  |-  B  =  ( Base `  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    =/= wne 2648   <.cop 3992   `'ccnv 4948   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   1c1 9395   10c10 10491   ndxcnx 14290   sSet csts 14291   Basecbs 14293   lecple 14365  ODualcodu 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ple 14378  df-odu 15419
This theorem is referenced by:  odupos  15425  oduposb  15426  oduglb  15429  odulub  15431  odulatb  15433  oduclatb  15434  posglbd  15440  latmass  15478  latdisd  15480  odudlatb  15486  dlatjmdi  15487  oduprs  26263  odutos  26270  ordtcnvNEW  26496  ordtrest2NEW  26499
  Copyright terms: Public domain W3C validator