MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odrngstr Structured version   Unicode version

Theorem odrngstr 14459
Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odrngstr.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
Assertion
Ref Expression
odrngstr  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 2 >.

Proof of Theorem odrngstr
StepHypRef Expression
1 odrngstr.w . 2  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
2 eqid 2452 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
32rngstr 14399 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
4 9nn 10592 . . . 4  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 14439 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10630 . . . 4  |-  9  <  10
7 10nn 10593 . . . 4  |-  10  e.  NN
8 plendx 14446 . . . 4  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 10891 . . . . 5  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10701 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10700 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10585 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
13 2pos 10519 . . . . . 6  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10882 . . . . 5  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4414 . . . 4  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10874 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 14455 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 14385 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  D >. } Struct  <. 9 , ; 1
2 >.
19 3lt9 10627 . . 3  |-  3  <  9
203, 18, 19strleun 14382 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
211, 20eqbrtri 4414 1  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    u. cun 3429   {ctp 3984   <.cop 3986   class class class wbr 4395   ` cfv 5521   0cc0 9388   1c1 9389    < clt 9524   2c2 10477   3c3 10478   9c9 10484   10c10 10485  ;cdc 10861   Struct cstr 14283   ndxcnx 14284   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353  TopSetcts 14358   lecple 14359   distcds 14361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374
This theorem is referenced by:  odrngbas  14460  odrngplusg  14461  odrngmulr  14462  odrngtset  14463  odrngle  14464  odrngds  14465  xrsstr  17950
  Copyright terms: Public domain W3C validator