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Theorem odmulg 16069
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 15656 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
433com23 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  X )
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
61, 5odcl 16051 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  A )  e.  X  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e. 
NN0 )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
87nn0cnd 10650 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
109mul02d 9579 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  0 )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0 )
1211oveq1d 6118 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
13 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
141, 5odcl 16051 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
15143ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1615nn0zd 10757 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
17 gcdeq0 13717 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1918simplbda 624 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  0 )
2010, 12, 193eqtr4rd 2486 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
21 simpll3 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2216ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
23 gcddvds 13711 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) ) )
2524simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) )
2613, 16gcdcld 13714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
30 nn0z 10681 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
32 dvdstr 13578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A )  /\  ( O `  A ) 
||  x )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
3329, 22, 31, 32syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A )  /\  ( O `  A )  ||  x )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3425, 33mpand 675 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
357nn0zd 10757 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
3635ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
37 muldvds1 13569 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  ( N 
.x.  A ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3829, 36, 31, 37syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
39 dvdszrcl 13552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )
)
40 divides 13549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4241ibi 241 . . . . . . 7  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x )
4335adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  e.  ZZ )
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
4528adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  =/=  0
)
47 dvdscmulr 13573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
491, 5, 2odmulgid 16067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
5049adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
51 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
52 dvdsmulgcd 13750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  ||  (
y  x.  N )  <-> 
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  N
)  <->  ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5448, 50, 533bitrrd 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y ) ) )
5545zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  CC )
5644zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
5755, 56mulcomd 9419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  =  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) )
5857breq2d 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5954, 58bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
6059anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
61 breq2 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( O `  A )  ||  x
) )
62 breq2 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) )
6361, 62bibi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) )  <->  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) ) )
6460, 63syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6564rexlimdva 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6642, 65syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6766adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6834, 38, 67pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
6968ralrimiva 2811 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
7015adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
717adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
7227, 71nn0mulcld 10653 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )
73 dvdsext 13596 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN0  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7569, 74mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
7620, 75pm2.61dane 2701 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294    x. cmul 9299   NN0cn0 10591   ZZcz 10658    || cdivides 13547    gcd cgcd 13702   Basecbs 14186   Grpcgrp 15422  .gcmg 15426   odcod 16040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-od 16044
This theorem is referenced by:  odmulgeq  16070  odinv  16074  gexexlem  16346
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