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Theorem odmulg 16451
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 16031 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
433com23 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  X )
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
61, 5odcl 16433 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  A )  e.  X  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e. 
NN0 )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
87nn0cnd 10866 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
109mul02d 9789 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  0 )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0 )
1211oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
13 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
141, 5odcl 16433 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
15143ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1615nn0zd 10976 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
17 gcdeq0 14035 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1918simplbda 624 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  0 )
2010, 12, 193eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
21 simpll3 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2216ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
23 gcddvds 14029 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) ) )
2524simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) )
2613, 16gcdcld 14032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
30 nn0z 10899 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
32 dvdstr 13895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A )  /\  ( O `  A ) 
||  x )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
3329, 22, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A )  /\  ( O `  A )  ||  x )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3425, 33mpand 675 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
357nn0zd 10976 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
3635ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
37 muldvds1 13886 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  ( N 
.x.  A ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3829, 36, 31, 37syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
39 dvdszrcl 13869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )
)
40 divides 13866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4241ibi 241 . . . . . . 7  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x )
4335adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  e.  ZZ )
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
4528adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  =/=  0
)
47 dvdscmulr 13890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
491, 5, 2odmulgid 16449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
5049adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
51 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
52 dvdsmulgcd 14068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  ||  (
y  x.  N )  <-> 
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  N
)  <->  ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5448, 50, 533bitrrd 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y ) ) )
5545zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  CC )
5644zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
5755, 56mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  =  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) )
5857breq2d 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5954, 58bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
6059anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
61 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( O `  A )  ||  x
) )
62 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) )
6361, 62bibi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) )  <->  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) ) )
6460, 63syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6564rexlimdva 2959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6642, 65syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6766adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6834, 38, 67pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
6968ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
7015adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
717adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
7227, 71nn0mulcld 10869 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )
73 dvdsext 13913 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN0  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7569, 74mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
7620, 75pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504    x. cmul 9509   NN0cn0 10807   ZZcz 10876    || cdivides 13864    gcd cgcd 14020   Basecbs 14507   Grpcgrp 15925  .gcmg 15928   odcod 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-od 16426
This theorem is referenced by:  odmulgeq  16452  odinv  16456  gexexlem  16731
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