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Theorem odmulg 17150
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 16718 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
433com23 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  X )
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
61, 5odcl 17128 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  A )  e.  X  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e. 
NN0 )
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
87nn0cnd 10878 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
98adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
109mul02d 9782 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  0 )
11 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0 )
1211oveq1d 6264 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
13 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
141, 5odcl 17128 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
15143ad2ant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1615nn0zd 10989 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
17 gcdeq0 14428 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1918simplbda 628 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  0 )
2010, 12, 193eqtr4rd 2473 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
21 simpll3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2216ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
23 gcddvds 14420 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) ) )
2524simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) )
2613, 16gcdcld 14425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2726adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
2928adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
30 nn0z 10911 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
3130adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
32 dvdstr 14280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A )  /\  ( O `  A ) 
||  x )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
3329, 22, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A )  /\  ( O `  A )  ||  x )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3425, 33mpand 679 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
357nn0zd 10989 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
3635ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
37 muldvds1 14270 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  ( N 
.x.  A ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3829, 36, 31, 37syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
39 dvdszrcl 14253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )
)
40 divides 14250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4241ibi 244 . . . . . . 7  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x )
4335adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  e.  ZZ )
44 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
4528adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
46 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  =/=  0
)
47 dvdscmulr 14274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
491, 5, 2odmulgid 17148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
5049adantrl 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
51 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
52 dvdsmulgcd 14465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  ||  (
y  x.  N )  <-> 
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  N
)  <->  ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5448, 50, 533bitrrd 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y ) ) )
5545zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  CC )
5644zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
5755, 56mulcomd 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  =  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) )
5857breq2d 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5954, 58bitrd 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
6059anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
61 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( O `  A )  ||  x
) )
62 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) )
6361, 62bibi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) )  <->  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) ) )
6460, 63syl5ibcom 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6564rexlimdva 2856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6642, 65syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6766adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6834, 38, 67pm5.21ndd 355 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
6968ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
7015adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
717adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
7227, 71nn0mulcld 10881 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )
73 dvdsext 14299 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN0  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7569, 74mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
7620, 75pm2.61dane 2688 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490    x. cmul 9495   NN0cn0 10820   ZZcz 10888    || cdvds 14248    gcd cgcd 14411   Basecbs 15064   Grpcgrp 16612  .gcmg 16615   odcod 17108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-od 17115
This theorem is referenced by:  odmulgeq  17151  odinv  17155  gexexlem  17433
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