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Theorem odmodnn0 16034
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odmodnn0  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
2 nnnn0 10578 . . . . . 6  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
4 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
54nn0red 10629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
6 nnrp 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  RR+ )
85, 7rerpdivcld 11046 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( O `  A )
)  e.  RR )
94nn0ge0d 10631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <_  N )
10 nnre 10321 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  RR )
12 nngt0 10343 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  0  <  ( O `  A
) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <  ( O `  A ) )
14 divge0 10190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( O `
 A ) ) )
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <_  ( N  /  ( O `  A ) ) )
16 flge0nn0 11658 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  ( O `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N  / 
( O `  A
) ) )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )
178, 15, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )
183, 17nn0mulcld 10633 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  e.  NN0 )
194nn0zd 10737 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
20 zmodcl 11719 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2119, 20sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
22 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
23 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
24 odid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
25 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2623, 24, 25mulgnn0dir 15641 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN0  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  e.  NN0  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
2811recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  CC )
2917nn0cnd 10630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  CC )
3028, 29mulcomd 9399 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) ) )
3130oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  .x.  A )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3223, 24mulgnn0ass 15647 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  e.  NN0  /\  ( O `  A
)  e.  NN0  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  ( ( O `
 A )  .x.  A ) ) )
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  ( ( O `
 A )  .x.  A ) ) )
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( od `  G
)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3623, 34, 24, 35odid 16032 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
3722, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
3837oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  (
( O `  A
)  .x.  A )
)  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  .0.  ) )
3923, 24, 35mulgnn0z 15638 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
401, 17, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4138, 40eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  (
( O `  A
)  .x.  A )
)  =  .0.  )
4233, 41eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  .0.  )
4331, 42eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  .x.  A )  =  .0.  )
4443oveq1d 6101 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
4527, 44eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  (  .0.  ( +g  `  G
) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
46 modval 11702 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  -  (
( O `  A
)  x.  ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) ) )
475, 7, 46syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  -  ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) ) ) )
4847oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  -  (
( O `  A
)  x.  ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) ) ) )
4918nn0cnd 10630 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  e.  CC )
504nn0cnd 10630 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5149, 50pncan3d 9714 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  -  ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) ) ) )  =  N )
5248, 51eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  =  N )
5352oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( N 
.x.  A ) )
5423, 24mulgnn0cl 15634 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  e.  NN0  /\  A  e.  X )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  e.  X )
551, 21, 22, 54syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  e.  X )
5623, 25, 35mndlid 15433 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  e.  X )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
571, 55, 56syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
5845, 53, 573eqtr3rd 2479 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   RR+crp 10983   |_cfl 11632    mod cmo 11700   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Mndcmnd 15401  .gcmg 15406   odcod 16019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-mulg 15539  df-od 16023
This theorem is referenced by:  mndodcong  16036
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