Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem2OLD Structured version   Unicode version

Theorem odlem2OLD 17203
 Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) Obsolete version of odlem2 17187 as of 5-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
odclOLD.1
odclOLD.2
odidOLD.3 .g
odidOLD.4
Assertion
Ref Expression
odlem2OLD

Proof of Theorem odlem2OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6312 . . . . 5
21eqeq1d 2424 . . . 4
32elrab 3228 . . 3
4 odclOLD.1 . . . . . 6
5 odidOLD.3 . . . . . 6 .g
6 odidOLD.4 . . . . . 6
7 odclOLD.2 . . . . . 6
8 eqid 2422 . . . . . 6
94, 5, 6, 7, 8odvalOLD 17182 . . . . 5
10 n0i 3766 . . . . . 6
1110iffalsed 3922 . . . . 5
129, 11sylan9eq 2483 . . . 4
13 ssrab2 3546 . . . . . 6
14 nnuz 11201 . . . . . . . 8
1513, 14sseqtri 3496 . . . . . . 7
16 ne0i 3767 . . . . . . . 8
1716adantl 467 . . . . . . 7
18 infmssuzclOLD 11254 . . . . . . 7
1915, 17, 18sylancr 667 . . . . . 6
2013, 19sseldi 3462 . . . . 5
21 infmssuzleOLD 11253 . . . . . . 7
2215, 21mpan 674 . . . . . 6
2322adantl 467 . . . . 5
24 elrabi 3225 . . . . . . . 8
2524nnzd 11046 . . . . . . 7
26 fznn 11870 . . . . . . 7
2725, 26syl 17 . . . . . 6
2827adantl 467 . . . . 5
2920, 23, 28mpbir2and 930 . . . 4
3012, 29eqeltrd 2507 . . 3
313, 30sylan2br 478 . 2
32313impb 1201 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  crab 2775   wss 3436  c0 3761  cif 3911   class class class wbr 4423  ccnv 4852  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   clt 9682   cle 9683  cn 10616  cz 10944  cuz 11166  cfz 11791  cbs 15120  c0g 15337  .gcmg 16671  codold 17165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-odOLD 17172 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator