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Theorem odlem2 16063
Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odlem2  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6119 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
21eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  A
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  A )  =  .0.  ) )
32elrab 3138 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( N 
.x.  A )  =  .0.  ) )
4 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
6 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
7 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
94, 5, 6, 7, 8odval 16058 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10 n0i 3663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  -.  { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =  (/) )
11 iffalse 3820 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
139, 12sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
14 ssrab2 3458 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  NN
15 nnuz 10917 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3409 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )
17 ne0i 3664 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =/=  (/) )
1817adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
19 infmssuzcl 10959 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }
)
2016, 18, 19sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )
2114, 20sseldi 3375 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzle 10958 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2316, 22mpan 670 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2423adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
25 elrabi 3135 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 10767 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 11547 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
) )
3113, 30eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  e.  ( 1 ... N ) )
323, 31sylan2br 476 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A
)  =  .0.  )
)  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1183 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2740    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ifcif 3812   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    < clt 9439    <_ cle 9440   NNcn 10343   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458   Basecbs 14195   0gc0g 14399  .gcmg 15435   odcod 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-od 16053
This theorem is referenced by:  mndodconglem  16065  oddvdsnn0  16068  odnncl  16069  oddvds  16071  od1  16081
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