MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Structured version   Unicode version

Theorem odinv 16456
Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odinv.2  |-  I  =  ( invg `  G )
odinv.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 neg1z 10911 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
2 odinv.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odinv.1 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
52, 3, 4odmulg 16451 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  =  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
61, 5mp3an3 1313 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  ( (
-u 1  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
72, 3odcl 16433 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
98nn0zd 10976 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
10 gcdcom 14034 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
111, 9, 10sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
12 1z 10906 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
13 gcdneg 14040 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
149, 12, 13sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
15 gcd1 14046 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  gcd  1 )  =  1 )
169, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  1
)  =  1 )
1711, 14, 163eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  1 )
18 odinv.2 . . . . 5  |-  I  =  ( invg `  G )
192, 4, 18mulgm1 16033 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 (.g `  G ) A )  =  ( I `  A ) )
2019fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  ( -u 1 (.g `  G ) A ) )  =  ( O `  ( I `
 A ) ) )
2117, 20oveq12d 6313 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) )  =  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) ) )
222, 18grpinvcl 15967 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
232, 3odcl 16433 . . . . 5  |-  ( ( I `  A )  e.  X  ->  ( O `  ( I `  A ) )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10866 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  CC )
2625mulid2d 9626 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) )  =  ( O `  ( I `  A
) ) )
276, 21, 263eqtrrd 2513 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    x. cmul 9509   -ucneg 9818   NN0cn0 10807   ZZcz 10876    gcd cgcd 14020   Basecbs 14507   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926  .gcmg 15928   odcod 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-od 16426
This theorem is referenced by:  torsubg  16733  oddvdssubg  16734
  Copyright terms: Public domain W3C validator