MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Unicode version

Theorem odinf 16458
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
odinf  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 13824 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
2 nnenom 12070 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
31, 2entr2i 7582 . . . 4  |-  om  ~~  ZZ
4 odf1.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odf1.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
6 odf1.3 . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 odf1.4 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
84, 5, 6, 7odf1 16457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
F : ZZ -1-1-> X
) )
98biimp3a 1328 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-> X )
10 f1f 5787 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ --> X )
11 zex 10885 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
12 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
134, 12eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
14 fex2 6750 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ZZ --> X  /\  ZZ  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14mp3an23 1316 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  e.  _V )
169, 10, 153syl 20 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F  e.  _V )
17 f1f1orn 5833 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
189, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
19 f1oen3g 7543 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
2016, 18, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
21 entr 7579 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  ZZ  /\  ZZ  ~~  ran  F )  ->  om  ~~  ran  F
)
223, 20, 21sylancr 663 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  om  ~~  ran  F )
23 endom 7554 . . 3  |-  ( om 
~~  ran  F  ->  om  ~<_  ran  F )
24 domnsym 7655 . . 3  |-  ( om  ~<_  ran  F  ->  -.  ran  F  ~<  om )
2522, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  ~<  om )
26 isfinite 8081 . 2  |-  ( ran 
F  e.  Fin  <->  ran  F  ~<  om )
2725, 26sylnibr 305 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ran crn 5006   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695    ~~ cen 7525    ~<_ cdom 7526    ~< csdm 7527   Fincfn 7528   0cc0 9504   NNcn 10548   ZZcz 10876   Basecbs 14507   Grpcgrp 15925  .gcmg 15928   odcod 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-od 16426
This theorem is referenced by:  dfod2  16459  odcl2  16460
  Copyright terms: Public domain W3C validator