MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Unicode version

Theorem odinf 16787
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
odinf  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 14033 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
2 nnenom 12075 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
31, 2entr2i 7563 . . . 4  |-  om  ~~  ZZ
4 odf1.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odf1.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
6 odf1.3 . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 odf1.4 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
84, 5, 6, 7odf1 16786 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
F : ZZ -1-1-> X
) )
98biimp3a 1326 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-> X )
10 f1f 5763 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ --> X )
11 zex 10869 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
12 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
134, 12eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
14 fex2 6728 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ZZ --> X  /\  ZZ  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14mp3an23 1314 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  e.  _V )
169, 10, 153syl 20 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F  e.  _V )
17 f1f1orn 5809 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
189, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
19 f1oen3g 7524 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
2016, 18, 19syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
21 entr 7560 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  ZZ  /\  ZZ  ~~  ran  F )  ->  om  ~~  ran  F
)
223, 20, 21sylancr 661 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  om  ~~  ran  F )
23 endom 7535 . . 3  |-  ( om 
~~  ran  F  ->  om  ~<_  ran  F )
24 domnsym 7636 . . 3  |-  ( om  ~<_  ran  F  ->  -.  ran  F  ~<  om )
2522, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  ~<  om )
26 isfinite 8060 . 2  |-  ( ran 
F  e.  Fin  <->  ran  F  ~<  om )
2725, 26sylnibr 303 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~~ cen 7506    ~<_ cdom 7507    ~< csdm 7508   Fincfn 7509   0cc0 9481   NNcn 10531   ZZcz 10860   Basecbs 14719   Grpcgrp 16255  .gcmg 16258   odcod 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-dvds 14074  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-od 16755
This theorem is referenced by:  dfod2  16788  odcl2  16789
  Copyright terms: Public domain W3C validator