MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Unicode version

Theorem odinf 17202
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
odinf  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 14253 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
2 nnenom 12193 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
31, 2entr2i 7628 . . . 4  |-  om  ~~  ZZ
4 odf1.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odf1.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
6 odf1.3 . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 odf1.4 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
84, 5, 6, 7odf1 17201 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
F : ZZ -1-1-> X
) )
98biimp3a 1364 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-> X )
10 f1f 5793 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ --> X )
11 zex 10947 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
12 fvex 5888 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
134, 12eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
14 fex2 6759 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ZZ --> X  /\  ZZ  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14mp3an23 1352 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  e.  _V )
169, 10, 153syl 18 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F  e.  _V )
17 f1f1orn 5839 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
189, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
19 f1oen3g 7589 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
2016, 18, 19syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
21 entr 7625 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  ZZ  /\  ZZ  ~~  ran  F )  ->  om  ~~  ran  F
)
223, 20, 21sylancr 667 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  om  ~~  ran  F )
23 endom 7600 . . 3  |-  ( om 
~~  ran  F  ->  om  ~<_  ran  F )
24 domnsym 7701 . . 3  |-  ( om  ~<_  ran  F  ->  -.  ran  F  ~<  om )
2522, 23, 243syl 18 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  ~<  om )
26 isfinite 8160 . 2  |-  ( ran 
F  e.  Fin  <->  ran  F  ~<  om )
2725, 26sylnibr 306 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4851   -->wf 5594   -1-1->wf1 5595   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   omcom 6703    ~~ cen 7571    ~<_ cdom 7572    ~< csdm 7573   Fincfn 7574   0cc0 9540   NNcn 10610   ZZcz 10938   Basecbs 15109   Grpcgrp 16657  .gcmg 16660   odcod 17153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-od 17160
This theorem is referenced by:  dfod2  17203  odcl2  17204
  Copyright terms: Public domain W3C validator