MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Structured version   Unicode version

Theorem odhash3 16402
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odhash.o . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 16366 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
5 hashcl 12396 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e. 
NN0 )
65nn0red 10853 . . . . . 6  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
7 pnfnre 9635 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
87neli 2802 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
9 odhash.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
101, 2, 9odhash 16400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  = +oo )
1110eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
128, 11mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
13123expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR ) )
1413necon2ad 2680 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
156, 14syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( K `  { A } )  e. 
Fin  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
16153impia 1193 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =/=  0
)
17 elnnne0 10809 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  <->  ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  ( O `
 A )  =/=  0 ) )
184, 16, 17sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
191, 2, 9odhash2 16401 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  ( O `  A ) )
2018, 19syld3an3 1273 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  =  ( O `  A
) )
2120eqcomd 2475 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4027   ` cfv 5588   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492   +oocpnf 9625   NNcn 10536   NN0cn0 10795   #chash 12373   Basecbs 14490  mrClscmrc 14838   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000   odcod 16355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-od 16359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator