MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash Structured version   Unicode version

Theorem odhash 16085
Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  = +oo )

Proof of Theorem odhash
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10667 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
2 ominf 7537 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
3 znnen 13507 . . . . . 6  |-  ZZ  ~~  NN
4 nnenom 11814 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
53, 4entri 7375 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  om
6 enfi 7541 . . . . 5  |-  ( ZZ 
~~  om  ->  ( ZZ  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  Fin  <->  om  e.  Fin )
82, 7mtbir 299 . . 3  |-  -.  ZZ  e.  Fin
9 hashinf 12120 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  -.  ZZ  e.  Fin )  ->  ( # `  ZZ )  = +oo )
101, 8, 9mp2an 672 . 2  |-  ( # `  ZZ )  = +oo
11 odhash.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
12 eqid 2443 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
13 odhash.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
14 odhash.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1511, 12, 13, 14odf1o1 16083 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
161f1oen 7342 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ -1-1-onto-> ( K `  { A } )  ->  ZZ  ~~  ( K `  { A } ) )
17 hasheni 12131 . . 3  |-  ( ZZ 
~~  ( K `  { A } )  -> 
( # `  ZZ )  =  ( # `  ( K `  { A } ) ) )
1815, 16, 173syl 20 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ZZ )  =  ( # `  ( K `  { A } ) ) )
1910, 18syl5reqr 2490 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   {csn 3889   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   omcom 6488    ~~ cen 7319   Fincfn 7322   0cc0 9294   +oocpnf 9427   NNcn 10334   ZZcz 10658   #chash 12115   Basecbs 14186  mrClscmrc 14533   Grpcgrp 15422  .gcmg 15426  SubGrpcsubg 15687   odcod 16040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-od 16044
This theorem is referenced by:  odhash3  16087
  Copyright terms: Public domain W3C validator