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Theorem odf1o2 16389
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1o1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1o1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1o1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odf1o2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, K    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  G  e.  Grp )
2 elfzoelz 11793 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
4 simpl2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  A  e.  X )
5 odf1o1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
75, 6mulgcl 15959 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
81, 3, 4, 7syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X )
98ex 434 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X ) )
10 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
1110nncnd 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
1211subid1d 9915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  - 
0 )  =  ( O `  A ) )
1312breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
14 fzocongeq 13895 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  -  0 ) 
||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  x  =  y
) )
16 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
17 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
182ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
19 elfzoelz 11793 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  y  e.  ZZ )
2019ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
22 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
235, 21, 6, 22odcong 16369 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2513, 15, 243bitr3rd 284 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) )
2625ex 434 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) ) )
279, 26dom2lem 7552 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-> X )
28 f1fn 5780 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )
2927, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
30 resss 5295 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  C_  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
312ssriv 3508 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( O `  A
) )  C_  ZZ
32 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ ( O `  A ) )  C_  ZZ  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
34 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
3534cbvmptv 4538 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
3630, 33, 353sstr3i 3542 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )
37 rnss 5229 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) 
C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
3836, 37mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
40 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN )
41 zmodfzo 11982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
435, 21, 6, 22odmod 16366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( O `  A
)  e.  NN )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
44433an1rs 1208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A ) )
4544eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  =  ( ( y  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )
46 oveq1 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
x  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
4746eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A )  <->  ( y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
4847rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  (
y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
4942, 45, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
50 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
51 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
5251elrnmpt 5247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  _V  ->  (
( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) ) )
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) ( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A ) )
5449, 53sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) )
55 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
5654, 55fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) : ZZ --> ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
57 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) : ZZ --> ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  C_  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )  C_  ran  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5938, 58eqssd 3521 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ran  (
y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) )
60 odf1o1.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
615, 6, 55, 60cycsubg2 16033 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
62613adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
6359, 62eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( K `
 { A }
) )
64 df-fo 5592 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( K `  { A } ) ) )
6529, 63, 64sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -onto-> ( K `
 { A }
) )
66 df-f1 5591 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  <->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `
 A ) ) --> X  /\  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) ) )
6766simprbi 464 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
6827, 67syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) )
69 dff1o3 5820 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  /\  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) ) )
7065, 68, 69sylanbrc 664 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788    mod cmo 11960    || cdivides 13843   Basecbs 14486   0gc0g 14691  mrClscmrc 14834   Grpcgrp 15723  .gcmg 15727  SubGrpcsubg 15990   odcod 16345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-od 16349
This theorem is referenced by:  odhash2  16391  odngen  16393
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