MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Unicode version

Theorem odf1o2 17209
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1o1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1o1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1o1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odf1o2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, K    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  G  e.  Grp )
2 elfzoelz 11920 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
32adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
4 simpl2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  A  e.  X )
5 odf1o1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
75, 6mulgcl 16762 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
81, 3, 4, 7syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X )
98ex 435 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X ) )
10 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
1110nncnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
1211subid1d 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  - 
0 )  =  ( O `  A ) )
1312breq1d 4430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
14 fzocongeq 14346 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  -  0 ) 
||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
1514adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  x  =  y
) )
16 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
17 simpl2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
182ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
19 elfzoelz 11920 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  y  e.  ZZ )
2019ad2antll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
22 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
235, 21, 6, 22odcong 17185 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2513, 15, 243bitr3rd 287 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) )
2625ex 435 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) ) )
279, 26dom2lem 7612 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-> X )
28 f1fn 5793 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )
2927, 28syl 17 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
30 resss 5143 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  C_  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
312ssriv 3468 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( O `  A
) )  C_  ZZ
32 resmpt 5169 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ ( O `  A ) )  C_  ZZ  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
34 oveq1 6308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
3534cbvmptv 4513 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
3630, 33, 353sstr3i 3502 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )
37 rnss 5078 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) 
C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
3836, 37mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
39 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
40 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN )
41 zmodfzo 12118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
4239, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
435, 21, 6, 22odmod 17182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( O `  A
)  e.  NN )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
44433an1rs 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A ) )
4544eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  =  ( ( y  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )
46 oveq1 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
x  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
4746eqeq2d 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A )  <->  ( y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
4847rspcev 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  (
y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
4942, 45, 48syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
50 ovex 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
51 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
5251elrnmpt 5096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  _V  ->  (
( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) ) )
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) ( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A ) )
5449, 53sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) )
55 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
5654, 55fmptd 6057 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) : ZZ --> ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
57 frn 5748 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) : ZZ --> ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  C_  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )  C_  ran  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5938, 58eqssd 3481 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ran  (
y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) )
60 odf1o1.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
615, 6, 55, 60cycsubg2 16841 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
62613adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
6359, 62eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( K `
 { A }
) )
64 df-fo 5603 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( K `  { A } ) ) )
6529, 63, 64sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -onto-> ( K `
 { A }
) )
66 df-f1 5602 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  <->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `
 A ) ) --> X  /\  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) ) )
6766simprbi 465 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
6827, 67syl 17 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) )
69 dff1o3 5833 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  /\  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) ) )
7065, 68, 69sylanbrc 668 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   ran crn 4850    |` cres 4851   Fun wfun 5591    Fn wfn 5592   -->wf 5593   -1-1->wf1 5594   -onto->wfo 5595   -1-1-onto->wf1o 5596   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   0cc0 9539    - cmin 9860   NNcn 10609   ZZcz 10937  ..^cfzo 11915    mod cmo 12095    || cdvds 14292   Basecbs 15108   0gc0g 15325  mrClscmrc 15476   Grpcgrp 16656  .gcmg 16659  SubGrpcsubg 16798   odcod 17152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-subg 16801  df-od 17159
This theorem is referenced by:  odhash2  17211  odngen  17213
  Copyright terms: Public domain W3C validator