MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Structured version   Unicode version

Theorem odf 16162
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odf  |-  O : X
--> NN0

Proof of Theorem odf
Dummy variables  y  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9492 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 gtso 9568 . . . . . 6  |-  `'  <  Or  RR
32supex 7825 . . . . 5  |-  sup (
w ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
41, 3ifex 3967 . . . 4  |-  if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
54csbex 4534 . . 3  |-  [_ {
z  e.  NN  | 
( z (.g `  G
) y )  =  ( 0g `  G
) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
6 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2454 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
106, 7, 8, 9odfval 16158 . . 3  |-  O  =  ( y  e.  X  |-> 
[_ { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) ) )
115, 10fnmpti 5648 . 2  |-  O  Fn  X
126, 9odcl 16161 . . 3  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
1312rgen 2899 . 2  |-  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0
14 ffnfv 5979 . 2  |-  ( O : X --> NN0  <->  ( O  Fn  X  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0 ) )
1511, 13, 14mpbir2an 911 1  |-  O : X
--> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   [_csb 3396   (/)c0 3746   ifcif 3900   `'ccnv 4948    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supcsup 7802   RRcr 9393   0cc0 9394    < clt 9530   NNcn 10434   NN0cn0 10691   Basecbs 14293   0gc0g 14498  .gcmg 15534   odcod 16150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-od 16154
This theorem is referenced by:  gexex  16457  torsubg  16458  proot1mul  29713  proot1hash  29717  proot1ex  29718
  Copyright terms: Public domain W3C validator