MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds2 Structured version   Unicode version

Theorem oddvds2 16192
Description: The order of an element of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl2.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
oddvds2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  ||  ( # `  X
) )

Proof of Theorem oddvds2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odcl2.2 . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )
51, 2, 3, 4dfod2 16190 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 ) )
653adant2 1007 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin ,  ( # `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) ,  0 ) )
7 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  Fin )
81, 3, 4cycsubgcl 15830 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
983adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) )
109simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
111subgss 15805 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  C_  X
)
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )
13 ssfi 7647 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
15 iftrue 3908 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin  ->  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 )  =  (
# `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 )  =  (
# `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
176, 16eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  =  ( # `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) )
181lagsubg 15866 . . 3  |-  ( ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) )  ||  ( # `
 X ) )
1910, 7, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( # `
 ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) )  ||  ( # `
 X ) )
2017, 19eqbrtrd 4423 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  ||  ( # `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   0cc0 9397   ZZcz 10761   #chash 12224    || cdivides 13657   Basecbs 14296   Grpcgrp 15533  .gcmg 15537  SubGrpcsubg 15798   odcod 16153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-acn 8227  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286  df-dvds 13658  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-eqg 15803  df-od 16157
This theorem is referenced by:  odsubdvds  16195  gexcl2  16213  gexdvds3  16214  pgpfi1  16219  prmcyg  16495  lt6abl  16496  ablfacrp  16699  pgpfac1lem2  16708  dchrfi  22737  dchrabs  22742
  Copyright terms: Public domain W3C validator