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Theorem oddpwdc 28679
Description: Lemma for eulerpart 28707. The function  F that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
oddpwdc.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
Assertion
Ref Expression
oddpwdc  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
Distinct variable groups:    x, y,
z    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    J( z)

Proof of Theorem oddpwdc
Dummy variables  k 
a  l  m  n  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
2 2nn 10654 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  2  e.  NN )
4 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  y  e.  NN0 )
53, 4nnexpcld 12285 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  ( 2 ^ y
)  e.  NN )
6 oddpwdc.j . . . . . . . 8  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
7 ssrab2 3523 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
86, 7eqsstri 3471 . . . . . . 7  |-  J  C_  NN
9 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  J )
108, 9sseldi 3439 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  NN )
115, 10nnmulcld 10544 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
1211ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
1312adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 ) )  -> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
152a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  2  e.  NN )
16 nn0ssre 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR
17 ltso 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
18 soss 4761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  NN0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  <  Or 
NN0 )
21 0zd 10837 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  ZZ )
22 ssrab2 3523 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  NN0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  NN0 )
24 nnz 10847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ZZ )
25 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ n ) )
2625breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ n )  ||  a ) )
2726elrab 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( n  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ n )  ||  a ) )
28 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  e.  RR )
302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  2  e.  NN )
3130, 28nnexpcld 12285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3231nnred 10511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
33 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  a  e.  NN )
3433nnred 10511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  a  e.  RR )
35 2re 10566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
3635leidi 10047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <_  2
37 nexple 28337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  2  e.  RR  /\  2  <_  2 )  ->  n  <_  ( 2 ^ n
) )
3835, 36, 37mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  <_ 
( 2 ^ n
) )
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  <_  ( 2 ^ n ) )
4031nnzd 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  ZZ )
41 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  ||  a )
42 dvdsle 14132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ n
)  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ n )  ||  a  ->  ( 2 ^ n
)  <_  a )
)
4342imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  /\  ( 2 ^ n )  ||  a
)  ->  ( 2 ^ n )  <_ 
a )
4440, 33, 41, 43syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  <_ 
a )
4529, 32, 34, 39, 44letrd 9693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  <_  a )
4627, 45sylan2b 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  <_  a )
4746ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  a )
48 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  a  ->  (
n  <_  m  <->  n  <_  a ) )
4948ralbidv 2842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  a  ->  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <_  m  <->  A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  a )
)
5049rspcev 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  A. n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <_  a )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )
5124, 47, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )
52 nn0uz 11079 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5352uzsupss 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  C_ 
NN0  /\  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
5421, 23, 51, 53syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
5520, 54supcl 7871 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
5615, 55nnexpcld 12285 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )
57 fzfi 12036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... a )  e. 
Fin
58 0zd 10837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  0  e.  ZZ )
5924adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  a  e.  ZZ )
6027, 28sylan2b 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  NN0 )
6160nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  ZZ )
6260nn0ge0d 10816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  0  <_  n )
63 elfz4 11652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  n  /\  n  <_  a ) )  ->  n  e.  ( 0 ... a
) )
6458, 59, 61, 62, 46, 63syl32anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  ( 0 ... a
) )
6564ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  ->  n  e.  ( 0 ... a ) ) )
6665ssrdv 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  ( 0 ... a
) )
67 ssfi 7695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 ... a
)  e.  Fin  /\  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  C_  ( 0 ... a
) )  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  e.  Fin )
6857, 66, 67sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  e.  Fin )
69 0nn0 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
71 2cn 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
72 exp0 12124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
74 1dvds 14099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ZZ  ->  1  ||  a )
7524, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  1  ||  a )
7673, 75syl5eqbr 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ 0 ) 
||  a )
77 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ 0 ) )
7877breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ 0 )  ||  a ) )
7978elrab 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( 0  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ 0 )  ||  a ) )
8070, 76, 79sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
81 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) )
83 fisupcl 7881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  <  Or  NN0  /\  ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  e.  Fin  /\  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) 
/\  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  C_  NN0 )
)  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
8420, 68, 82, 23, 83syl13anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
85 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ l ) )
8685breq1d 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ l )  ||  a ) )
8786cbvrabv 3057 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =  { l  e.  NN0  |  ( 2 ^ l
)  ||  a }
8884, 87syl6eleq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { l  e.  NN0  |  ( 2 ^ l
)  ||  a }
)
89 oveq2 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  ( 2 ^ l
)  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
9089breq1d 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  ( ( 2 ^ l )  ||  a  <->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9190elrab 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { l  e.  NN0  |  (
2 ^ l ) 
||  a }  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9288, 91sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9392simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
94 nndivdvds 14093 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a  <->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  NN ) )
9594biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) 
||  a )  -> 
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN )
9614, 56, 93, 95syl21anc 1229 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN )
97 1nn0 10772 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
9955, 98nn0addcld 10817 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  NN0 )
10055nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  RR )
101100ltp1d 10436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )
10220, 54supub 7872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) )
103101, 102mt2d 117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
)
10487eleq2i 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }
)
105103, 104sylnib 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }
)
106 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  -> 
( 2 ^ l
)  =  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) )
107106breq1d 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  -> 
( ( 2 ^ l )  ||  a  <->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a ) )
108107elrab 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }  <->  ( ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
109105, 108sylnib 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
110 imnan 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a )  <->  -.  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
11299, 111mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a )
113 expp1 12127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) )
11471, 55, 113sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) )
115114breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a  <->  ( (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) 
||  a ) )
116112, 115mtbid 298 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a )
117 nncn 10504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  CC )
11856nncnd 10512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  CC )
11956nnne0d 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  =/=  0 )
120117, 118, 119divcan2d 10283 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  a )
121120eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
122121breq2d 4406 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a 
<->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) ) )
12315nnzd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
12496nnzd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ )
12556nnzd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  ZZ )
126 dvdscmulr 14113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  e.  ZZ  /\  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
127123, 124, 125, 119, 126syl112anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
128122, 127bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a 
<->  2  ||  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
129116, 128mtbid 298 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
130 breq2 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
131130notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
132131, 6elrab2 3208 . . . . . 6  |-  ( ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  <->  ( ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
13396, 129, 132sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J
)
134133, 55jca 530 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  /\  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 ) )
135134adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  a  e.  NN )  ->  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  /\  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 ) )
136 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
1372a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  2  e.  NN )
138 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  NN0 )
139137, 138nnexpcld 12285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
1408sseli 3437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  x  e.  NN )
141140ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  NN )
142139, 141nnmulcld 10544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  e.  NN )
143136, 142eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  e.  NN )
144 simplll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  J
)
145 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
146145notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
147146, 6elrab2 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
148147simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  J  ->  -.  2  ||  x )
149 2z 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
150138adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  NN0 )
151150nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  ZZ )
15219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  <  Or  NN0 )
153143, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
154153adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
155152, 154supcl 7871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 )
156155nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )
157 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)
158 znnsub 10871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )  ->  ( y  <  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN ) )
159158biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\ 
sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )
160151, 156, 157, 159syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )
161 iddvdsexp 14108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )  ->  2  ||  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )
162149, 160, 161sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )
163149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  e.  ZZ )
164143, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  ZZ )
165164adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ )
166160nnnn0d 10813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e. 
NN0 )
167 zexpcl 12135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )
168149, 166, 167sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )
169 dvdsmultr2 14122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  ->  2  ||  ( ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) ) )
170163, 165, 168, 169syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2  ||  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  ->  2  ||  ( ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) ) )
171162, 170mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
172141adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  NN )
173172nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  CC )
174 2cnd 10569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  e.  CC )
175174, 166expcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  CC )
176143adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  e.  NN )
177176nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  e.  CC )
178176, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  e.  CC )
179 2ne0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  =/=  0
)
181174, 180, 156expne0d 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  =/=  0 )
182177, 178, 181divcld 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  CC )
183175, 182mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )  e.  CC )
184174, 150expcld 12264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
185174, 180, 151expne0d 12270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ y )  =/=  0
)
186176, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
187 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )
188150nn0cnd 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  CC )
189155nn0cnd 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  CC )
190188, 189pncan3d 9890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)
191190oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )
192174, 166, 150expaddd 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
193191, 192eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
194193oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ y )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
195186, 187, 1943eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( ( 2 ^ y )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
196184, 175, 182mulassd 9569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) ) )
197195, 196eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) ) )
198173, 183, 184, 185, 197mulcanad 10145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  =  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
199182, 175mulcomd 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
200198, 199eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  =  ( ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
201171, 200breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  x
)
202148, 201nsyl3 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  -.  x  e.  J )
203144, 202pm2.65da 574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  -.  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
204141nnzd 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
205139nnzd 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  ZZ )
206143nnzd 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  e.  ZZ )
207139nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
208141nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  CC )
209207, 208mulcomd 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  ( x  x.  (
2 ^ y ) ) )
210136, 209eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( x  x.  ( 2 ^ y
) )  =  a )
211 dvds0lem 14095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ y
)  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( x  x.  (
2 ^ y ) )  =  a )  ->  ( 2 ^ y )  ||  a
)
212204, 205, 206, 210, 211syl31anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  ||  a )
213 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ y ) )
214213breq1d 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ y )  ||  a ) )
215214elrab 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( y  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ y )  ||  a ) )
216138, 212, 215sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
)
21719a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  <  Or  NN0 )
218217, 153supub 7872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  y ) )
219216, 218mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  y )
220138nn0red 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  RR )
221143, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  RR )
222220, 221lttri3d 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  <->  ( -.  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  /\  -.  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  < 
y ) ) )
223203, 219, 222mpbir2and 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
224 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
225143adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  e.  NN )
226225nncnd 10512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  e.  CC )
227141adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  e.  NN )
228227nncnd 10512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  e.  CC )
229 nnexpcl 12133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
2302, 229mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
231230nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
232230nnne0d 10541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  =/=  0 )
233231, 232jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ y )  e.  CC  /\  (
2 ^ y )  =/=  0 ) )
234233ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( (
2 ^ y )  e.  CC  /\  (
2 ^ y )  =/=  0 ) )
235 divmul2 10172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  (
( 2 ^ y
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ y
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x  <->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) )
236226, 228, 234, 235syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( (
a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x  <->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) )
237224, 236mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x )
238 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
239238oveq2d 6250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( 2 ^ y )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
240239oveq2d 6250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( a  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
241237, 240eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
242241ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  x  =  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
243223, 242jcai 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  /\  x  =  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
244243ancomd 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )
245143, 244jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )
246 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  x  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
247133adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  J )
248246, 247eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  x  e.  J )
249 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
25055adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
251249, 250eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
252121adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
253249oveq2d 6250 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( 2 ^ y )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
254253, 246oveq12d 6252 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
255252, 254eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
256248, 251, 255jca31 532 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( (
2 ^ y )  x.  x ) ) )
257245, 256impbii 188 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  <->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )
258257a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  <->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
2591, 13, 135, 258f1od2 27874 . 2  |-  ( T. 
->  F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN )
260259trud 1414 1  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757    C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394    Or wor 4742    X. cxp 4940   -1-1-onto->wf1o 5524  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   Fincfn 7474   supcsup 7854   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761    / cdiv 10167   NNcn 10496   2c2 10546   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ...cfz 11643   ^cexp 12120    || cdvds 14087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-seq 12062  df-exp 12121  df-dvds 14088
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28697  eulerpartlemgvv  28701  eulerpartlemgh  28703  eulerpartlemgf  28704
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