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Theorem oddpwdc 27933
 Description: Lemma for eulerpart 27961. The function that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f
Assertion
Ref Expression
oddpwdc
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem oddpwdc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.f . . 3
2 2nn 10689 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
4 simpl 457 . . . . . . 7
53, 4nnexpcld 12295 . . . . . 6
6 oddpwdc.j . . . . . . . 8
7 ssrab2 3585 . . . . . . . 8
86, 7eqsstri 3534 . . . . . . 7
9 simpr 461 . . . . . . 7
108, 9sseldi 3502 . . . . . 6
115, 10nnmulcld 10579 . . . . 5
1211ancoms 453 . . . 4
14 id 22 . . . . . . 7
152a1i 11 . . . . . . . 8
16 nn0ssre 10795 . . . . . . . . . . 11
17 ltso 9661 . . . . . . . . . . 11
18 soss 4818 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . 10
2019a1i 11 . . . . . . . . 9
21 0zd 10872 . . . . . . . . . 10
22 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . 11
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10
24 nnz 10882 . . . . . . . . . . 11
25 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14
2726elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13
28 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14
302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130, 28nnexpcld 12295 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . 14
35 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635leidi 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 nexple 27645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3835, 36, 37mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14
4031nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 dvdsle 13886 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
4440, 33, 41, 43syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14
4529, 32, 34, 39, 44letrd 9734 . . . . . . . . . . . . 13
4627, 45sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12
4746ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11
48 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13
4948ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12
5049rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11
5124, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
52 nn0uz 11112 . . . . . . . . . . 11
5352uzsupss 11170 . . . . . . . . . 10
5421, 23, 51, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5520, 54supcl 7914 . . . . . . . 8
5615, 55nnexpcld 12295 . . . . . . 7
57 fzfi 12046 . . . . . . . . . . . 12
58 0zd 10872 . . . . . . . . . . . . . . 15
5924adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6027, 28sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 elfz4 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15
6458, 59, 61, 62, 46, 63syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
6665ssrdv 3510 . . . . . . . . . . . 12
67 ssfi 7737 . . . . . . . . . . . 12
6857, 66, 67sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
69 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . . . 14
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
71 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 exp0 12134 . . . . . . . . . . . . . . 15
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
74 1dvds 13855 . . . . . . . . . . . . . . 15
7524, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
7673, 75syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . . 13
77 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14
7978elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13
8070, 76, 79sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12
81 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11
83 fisupcl 7923 . . . . . . . . . . 11
8420, 68, 82, 23, 83syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10
85 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12
8685breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11
8786cbvrabv 3112 . . . . . . . . . 10
8884, 87syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9
89 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11
9089breq1d 4457 . . . . . . . . . 10
9190elrab 3261 . . . . . . . . 9
9288, 91sylib 196 . . . . . . . 8
9392simprd 463 . . . . . . 7
94 nndivdvds 13849 . . . . . . . 8
9594biimpa 484 . . . . . . 7
9614, 56, 93, 95syl21anc 1227 . . . . . 6
97 1nn0 10807 . . . . . . . . . . 11
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10
9955, 98nn0addcld 10852 . . . . . . . . 9
10055nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14
101100ltp1d 10472 . . . . . . . . . . . . 13
10220, 54supub 7915 . . . . . . . . . . . . 13
103101, 102mt2d 117 . . . . . . . . . . . 12
10487eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . 12
105103, 104sylnib 304 . . . . . . . . . . 11
106 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13
107106breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12
108107elrab 3261 . . . . . . . . . . 11
109105, 108sylnib 304 . . . . . . . . . 10
110 imnan 422 . . . . . . . . . 10
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . 9
11299, 111mpd 15 . . . . . . . 8
113 expp1 12137 . . . . . . . . . 10
11471, 55, 113sylancr 663 . . . . . . . . 9
115114breq1d 4457 . . . . . . . 8
116112, 115mtbid 300 . . . . . . 7
117 nncn 10540 . . . . . . . . . . 11
11856nncnd 10548 . . . . . . . . . . 11
11956nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11
120117, 118, 119divcan2d 10318 . . . . . . . . . 10
121120eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
122121breq2d 4459 . . . . . . . 8
12315nnzd 10961 . . . . . . . . 9
12496nnzd 10961 . . . . . . . . 9
12556nnzd 10961 . . . . . . . . 9
126 dvdscmulr 13869 . . . . . . . . 9
127123, 124, 125, 119, 126syl112anc 1232 . . . . . . . 8
128122, 127bitrd 253 . . . . . . 7
129116, 128mtbid 300 . . . . . 6
130 breq2 4451 . . . . . . . 8
131130notbid 294 . . . . . . 7
132131, 6elrab2 3263 . . . . . 6
13396, 129, 132sylanbrc 664 . . . . 5
134133, 55jca 532 . . . 4
136 simpr 461 . . . . . . 7
1372a1i 11 . . . . . . . . 9
138 simplr 754 . . . . . . . . 9
139137, 138nnexpcld 12295 . . . . . . . 8
1408sseli 3500 . . . . . . . . 9
141140ad2antrr 725 . . . . . . . 8
142139, 141nnmulcld 10579 . . . . . . 7
143136, 142eqeltrd 2555 . . . . . 6
144 simplll 757 . . . . . . . . . 10
145 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . 14
146145notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
147146, 6elrab2 3263 . . . . . . . . . . . 12
148147simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
149 2z 10892 . . . . . . . . . . . . . 14
150138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151150nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15
15219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153143, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155152, 154supcl 7914 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156155nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
158 znnsub 10905 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159158biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
160151, 156, 157, 159syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14
161 iddvdsexp 13864 . . . . . . . . . . . . . 14
162149, 160, 161sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
163149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
164143, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
166160nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . 15
167 zexpcl 12145 . . . . . . . . . . . . . . 15
168149, 166, 167sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
169 dvdsmultr2 13876 . . . . . . . . . . . . . 14
170163, 165, 168, 169syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
171162, 170mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
172141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . 14
174 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175174, 166expcld 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15
176143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177176nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178176, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181174, 180, 156expne0d 12280 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182177, 178, 181divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15
183175, 182mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . 14
184174, 150expcld 12274 . . . . . . . . . . . . . 14
185174, 180, 151expne0d 12280 . . . . . . . . . . . . . 14
186176, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188150nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
189155nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
190188, 189pncan3d 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
191190oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
192174, 166, 150expaddd 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
193191, 192eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194193oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195186, 187, 1943eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
196184, 175, 182mulassd 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15
197195, 196eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14
198173, 183, 184, 185, 197mulcanad 10180 . . . . . . . . . . . . 13
199182, 175mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . 13
200198, 199eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12
201171, 200breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11
202148, 201nsyl3 119 . . . . . . . . . 10
203144, 202pm2.65da 576 . . . . . . . . 9
204141nnzd 10961 . . . . . . . . . . . 12
205139nnzd 10961 . . . . . . . . . . . 12
206143nnzd 10961 . . . . . . . . . . . 12
207139nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . 14
208141nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . 14
209207, 208mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . 13
210136, 209eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . 12
211 dvds0lem 13851 . . . . . . . . . . . 12
212204, 205, 206, 210, 211syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11
213 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13
214213breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12
215214elrab 3261 . . . . . . . . . . 11
216138, 212, 215sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
21719a1i 11 . . . . . . . . . . 11
218217, 153supub 7915 . . . . . . . . . 10
219216, 218mpd 15 . . . . . . . . 9
220138nn0red 10849 . . . . . . . . . 10
221143, 100syl 16 . . . . . . . . . 10
222220, 221lttri3d 9720 . . . . . . . . 9
223203, 219, 222mpbir2and 920 . . . . . . . 8
224 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
225143adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
226225nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12
227141adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
228227nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12
229 nnexpcl 12143 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2302, 229mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
231230nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . 14
232230nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
233231, 232jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
234233ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12
235 divmul2 10207 . . . . . . . . . . . 12
236226, 228, 234, 235syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
237224, 236mpbird 232 . . . . . . . . . 10
238 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
239238oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11
240239oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10
241237, 240eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9
242241ex 434 . . . . . . . 8
243223, 242jcai 536 . . . . . . 7
244243ancomd 451 . . . . . 6
245143, 244jca 532 . . . . 5
246 simprl 755 . . . . . . 7
247133adantr 465 . . . . . . 7
248246, 247eqeltrd 2555 . . . . . 6
249 simprr 756 . . . . . . 7
25055adantr 465 . . . . . . 7
251249, 250eqeltrd 2555 . . . . . 6
252121adantr 465 . . . . . . 7
253249oveq2d 6298 . . . . . . . 8
254253, 246oveq12d 6300 . . . . . . 7
255252, 254eqtr4d 2511 . . . . . 6
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 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wtru 1380   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818   wss 3476  c0 3785   class class class wbr 4447   wor 4799   cxp 4997  wf1o 5585  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  cfn 7513  csup 7896  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   clt 9624   cle 9625   cmin 9801   cdiv 10202  cn 10532  c2 10581  cn0 10791  cz 10860  cfz 11668  cexp 12130   cdivides 13843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-dvds 13844 This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  27951  eulerpartlemgvv  27955  eulerpartlemgh  27957  eulerpartlemgf  27958
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