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Theorem oddpwdc 28468
Description: Lemma for eulerpart 28496. The function  F that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
oddpwdc.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
Assertion
Ref Expression
oddpwdc  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
Distinct variable groups:    x, y,
z    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    J( z)

Proof of Theorem oddpwdc
Dummy variables  k 
a  l  m  n  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
2 2nn 10714 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  2  e.  NN )
4 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  y  e.  NN0 )
53, 4nnexpcld 12333 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  ( 2 ^ y
)  e.  NN )
6 oddpwdc.j . . . . . . . 8  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
7 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
86, 7eqsstri 3529 . . . . . . 7  |-  J  C_  NN
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  J )
108, 9sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  NN )
115, 10nnmulcld 10604 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  J )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
1211ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
1312adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 ) )  -> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  e.  NN )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
152a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  2  e.  NN )
16 nn0ssre 10820 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR
17 ltso 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
18 soss 4827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  NN0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  <  Or 
NN0 )
21 0zd 10897 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  ZZ )
22 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  NN0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  NN0 )
24 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ZZ )
25 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ n ) )
2625breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ n )  ||  a ) )
2726elrab 3257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( n  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ n )  ||  a ) )
28 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  e.  RR )
302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  2  e.  NN )
3130, 28nnexpcld 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3231nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  a  e.  NN )
3433nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  a  e.  RR )
35 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
3635leidi 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <_  2
37 nexple 28158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  2  e.  RR  /\  2  <_  2 )  ->  n  <_  ( 2 ^ n
) )
3835, 36, 37mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  <_ 
( 2 ^ n
) )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  <_  ( 2 ^ n ) )
4031nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  ZZ )
41 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  ||  a )
42 dvdsle 14042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ n
)  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ n )  ||  a  ->  ( 2 ^ n
)  <_  a )
)
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  /\  ( 2 ^ n )  ||  a
)  ->  ( 2 ^ n )  <_ 
a )
4440, 33, 41, 43syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  ( 2 ^ n )  <_ 
a )
4529, 32, 34, 39, 44letrd 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( 2 ^ n
)  ||  a )
)  ->  n  <_  a )
4627, 45sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  <_  a )
4746ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  a )
48 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  a  ->  (
n  <_  m  <->  n  <_  a ) )
4948ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  a  ->  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <_  m  <->  A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  a )
)
5049rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  A. n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <_  a )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )
5124, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )
52 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5352uzsupss 11199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  C_ 
NN0  /\  E. m  e.  ZZ  A. n  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
n  <_  m )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
5421, 23, 51, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
5520, 54supcl 7935 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
5615, 55nnexpcld 12333 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )
57 fzfi 12084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... a )  e. 
Fin
58 0zd 10897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  0  e.  ZZ )
5924adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  a  e.  ZZ )
6027, 28sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  NN0 )
6160nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  ZZ )
6260nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  0  <_  n )
63 elfz4 11706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  n  /\  n  <_  a ) )  ->  n  e.  ( 0 ... a
) )
6458, 59, 61, 62, 46, 63syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN  /\  n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } )  ->  n  e.  ( 0 ... a
) )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
n  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  ->  n  e.  ( 0 ... a ) ) )
6665ssrdv 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  C_  ( 0 ... a
) )
67 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 ... a
)  e.  Fin  /\  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  C_  ( 0 ... a
) )  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  e.  Fin )
6857, 66, 67sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  e.  Fin )
69 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
71 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
72 exp0 12172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
74 1dvds 14009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ZZ  ->  1  ||  a )
7524, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  1  ||  a )
7673, 75syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ 0 ) 
||  a )
77 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ 0 ) )
7877breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ 0 )  ||  a ) )
7978elrab 3257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( 0  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ 0 )  ||  a ) )
8070, 76, 79sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  0  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
81 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) )
83 fisupcl 7945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  <  Or  NN0  /\  ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  e.  Fin  /\  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =/=  (/) 
/\  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  C_  NN0 )
)  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
8420, 68, 82, 23, 83syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }
)
85 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ l ) )
8685breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ l )  ||  a ) )
8786cbvrabv 3108 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a }  =  { l  e.  NN0  |  ( 2 ^ l
)  ||  a }
8884, 87syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { l  e.  NN0  |  ( 2 ^ l
)  ||  a }
)
89 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  ( 2 ^ l
)  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
9089breq1d 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  ( ( 2 ^ l )  ||  a  <->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9190elrab 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  { l  e.  NN0  |  (
2 ^ l ) 
||  a }  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9288, 91sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
)
9392simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a )
94 nndivdvds 14003 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ||  a  <->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  NN ) )
9594biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  NN )  /\  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) 
||  a )  -> 
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN )
9614, 56, 93, 95syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN )
97 1nn0 10832 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
9955, 98nn0addcld 10877 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  NN0 )
10055nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  RR )
101100ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )
10220, 54supub 7936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
{ k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) )
103101, 102mt2d 117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
)
10487eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }
)
105103, 104sylnib 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }
)
106 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  -> 
( 2 ^ l
)  =  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) )
107106breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  -> 
( ( 2 ^ l )  ||  a  <->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a ) )
108107elrab 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e.  {
l  e.  NN0  | 
( 2 ^ l
)  ||  a }  <->  ( ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
109105, 108sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
110 imnan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a )  <->  -.  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 )  e. 
NN0  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) ) 
||  a ) )
11299, 111mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a )
113 expp1 12175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) )
11471, 55, 113sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) )
115114breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  +  1 ) )  ||  a  <->  ( (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) 
||  a ) )
116112, 115mtbid 300 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a )
117 nncn 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  CC )
11856nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  CC )
11956nnne0d 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  =/=  0 )
120117, 118, 119divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  a )
121120eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
122121breq2d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a 
<->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) ) )
12315nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
12496nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ )
12556nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  e.  ZZ )
126 dvdscmulr 14023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  e.  ZZ  /\  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
127123, 124, 125, 119, 126syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
128122, 127bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  2 )  ||  a 
<->  2  ||  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
129116, 128mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
130 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
131130notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
132131, 6elrab2 3259 . . . . . 6  |-  ( ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  <->  ( ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
13396, 129, 132sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J
)
134133, 55jca 532 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  /\  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 ) )
135134adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  a  e.  NN )  ->  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  J  /\  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 ) )
136 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
1372a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  2  e.  NN )
138 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  NN0 )
139137, 138nnexpcld 12333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
1408sseli 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  x  e.  NN )
141140ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  NN )
142139, 141nnmulcld 10604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  e.  NN )
143136, 142eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  e.  NN )
144 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  J
)
145 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
146145notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
147146, 6elrab2 3259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
148147simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  J  ->  -.  2  ||  x )
149 2z 10917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
150138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  NN0 )
151150nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  ZZ )
15219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  <  Or  NN0 )
153143, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( A. n  e.  {
k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }  -.  m  <  n  /\  A. n  e.  NN0  (
n  <  m  ->  E. o  e.  { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } n  <  o ) ) )
155152, 154supcl 7935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e. 
NN0 )
156155nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)
158 znnsub 10931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )  ->  ( y  <  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN ) )
159158biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\ 
sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  ZZ )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )
160151, 156, 157, 159syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )
161 iddvdsexp 14018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN )  ->  2  ||  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )
162149, 160, 161sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )
163149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  e.  ZZ )
164143, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  ZZ )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ )
166160nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e. 
NN0 )
167 zexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )
168149, 166, 167sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )
169 dvdsmultr2 14032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  ->  2  ||  ( ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) ) )
170163, 165, 168, 169syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2  ||  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  ->  2  ||  ( ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) ) )
171162, 170mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  (
( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
172141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  NN )
173172nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  e.  CC )
174 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  e.  CC )
175174, 166expcld 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  e.  CC )
176143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  e.  NN )
177176nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  e.  CC )
178176, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  e.  CC )
179 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  =/=  0
)
181174, 180, 156expne0d 12318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  =/=  0 )
182177, 178, 181divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  e.  CC )
183175, 182mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )  e.  CC )
184174, 150expcld 12312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
185174, 180, 151expne0d 12318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ y )  =/=  0
)
186176, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
187 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )
188150nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  y  e.  CC )
189155nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  CC )
190188, 189pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  =  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)
191190oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )
192174, 166, 150expaddd 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ ( y  +  ( sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
193191, 192eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
194193oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ y )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
195186, 187, 1943eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( ( 2 ^ y )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
196184, 175, 182mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( ( 2 ^ y )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) ) )
197195, 196eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) ) )
198173, 183, 184, 185, 197mulcanad 10205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  =  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
199182, 175mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  ( ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  x.  ( 2 ^ ( sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) )  x.  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
200198, 199eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  x  =  ( ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  x.  (
2 ^ ( sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  -  y ) ) ) )
201171, 200breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  2  ||  x
)
202148, 201nsyl3 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  ->  -.  x  e.  J )
203144, 202pm2.65da 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  -.  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
204141nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
205139nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  ZZ )
206143nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  a  e.  ZZ )
207139nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
208141nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  x  e.  CC )
209207, 208mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  ( x  x.  (
2 ^ y ) ) )
210136, 209eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( x  x.  ( 2 ^ y
) )  =  a )
211 dvds0lem 14005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ y
)  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( x  x.  (
2 ^ y ) )  =  a )  ->  ( 2 ^ y )  ||  a
)
212204, 205, 206, 210, 211syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( 2 ^ y )  ||  a )
213 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ y ) )
214213breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  (
( 2 ^ k
)  ||  a  <->  ( 2 ^ y )  ||  a ) )
215214elrab 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a }  <->  ( y  e. 
NN0  /\  ( 2 ^ y )  ||  a ) )
216138, 212, 215sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a }
)
21719a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  <  Or  NN0 )
218217, 153supub 7936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  e.  { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a }  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  y ) )
219216, 218mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  -.  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  <  y )
220138nn0red 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  e.  RR )
221143, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  RR )
222220, 221lttri3d 9742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  <->  ( -.  y  <  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  /\  -.  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  < 
y ) ) )
223203, 219, 222mpbir2and 922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
224 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
225143adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  e.  NN )
226225nncnd 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  a  e.  CC )
227141adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  e.  NN )
228227nncnd 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  e.  CC )
229 nnexpcl 12181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
2302, 229mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
231230nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
232230nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  =/=  0 )
233231, 232jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ y )  e.  CC  /\  (
2 ^ y )  =/=  0 ) )
234233ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( (
2 ^ y )  e.  CC  /\  (
2 ^ y )  =/=  0 ) )
235 divmul2 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  (
( 2 ^ y
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ y
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x  <->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) )
236226, 228, 234, 235syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( (
a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x  <->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) )
237224, 236mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( a  /  ( 2 ^ y ) )  =  x )
238 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
239238oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( 2 ^ y )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
240239oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  ( a  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
241237, 240eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e. 
NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
)  ->  x  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
242241ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  ->  x  =  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
243223, 242jcai 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  )  /\  x  =  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
244243ancomd 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )
245143, 244jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  ->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )
246 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  x  =  ( a  /  (
2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) )
247133adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  e.  J )
248246, 247eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  x  e.  J )
249 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  y  =  sup ( { k  e. 
NN0  |  ( 2 ^ k )  ||  a } ,  NN0 ,  <  ) )
25055adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
251249, 250eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
252121adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
253249oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( 2 ^ y )  =  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )
254253, 246oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  ( ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) )  x.  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) ) ) )
255252, 254eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
256248, 251, 255jca31 534 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( x  =  (
a  /  ( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  | 
( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( (
2 ^ y )  x.  x ) ) )
257245, 256impbii 188 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y
)  x.  x ) )  <->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) )
258257a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  NN0 )  /\  a  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  <->  ( a  e.  NN  /\  ( x  =  ( a  / 
( 2 ^ sup ( { k  e.  NN0  |  ( 2 ^ k
)  ||  a } ,  NN0 ,  <  )
) )  /\  y  =  sup ( { k  e.  NN0  |  (
2 ^ k ) 
||  a } ,  NN0 ,  <  ) ) ) ) )
2591, 13, 135, 258f1od2 27697 . 2  |-  ( T. 
->  F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN )
260259trud 1404 1  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    Or wor 4808    X. cxp 5006   -1-1-onto->wf1o 5593  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ...cfz 11697   ^cexp 12168    || cdvds 13997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-dvds 13998
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28486  eulerpartlemgvv  28490  eulerpartlemgh  28492  eulerpartlemgf  28493
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