MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Structured version   Unicode version

Theorem oddprm 14214
Description: A prime not equal to  2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3631 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  Prime )
2 prmz 14096 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ZZ )
4 eldifsni 4159 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  =/=  2 )
54necomd 2738 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  N )
65neneqd 2669 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  =  N
)
7 2z 10908 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 11108 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 dvdsprm 14115 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
2  ||  N  <->  2  =  N ) )
119, 1, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  N  <->  2  =  N ) )
126, 11mtbird 301 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  ||  N )
13 1z 10906 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
14 n2dvds1 13910 . . . . 5  |-  -.  2  ||  1
15 omoe 14211 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
1613, 14, 15mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
173, 12, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  ||  ( N  -  1 ) )
18 prmnn 14095 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
19 nnm1nn0 10849 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
201, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
21 nn0z 10899 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
22 2ne0 10640 . . . . 5  |-  2  =/=  0
23 dvdsval2 13866 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
247, 22, 23mp3an12 1314 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2520, 21, 243syl 20 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
2617, 25mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
27 prmuz2 14110 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
28 uz2m1nn 11168 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
29 nnre 10555 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
30 nngt0 10577 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  1 ) )
31 2re 10617 . . . . 5  |-  2  e.  RR
32 2pos 10639 . . . . 5  |-  0  <  2
33 divgt0 10422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3431, 32, 33mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3529, 30, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
361, 27, 28, 354syl 21 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
37 elnnz 10886 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
3826, 36, 37sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478   {csn 4033   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    < clt 9640    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094    || cdivides 13863   Primecprime 14092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-dvds 13864  df-prm 14093
This theorem is referenced by:  4sqlem19  14356  lgslem1  23435  lgslem4  23438  lgsval2lem  23445  lgsvalmod  23454  lgsmod  23460  lgsdirprm  23468  lgsne0  23472  lgsqrlem1  23480  lgsqrlem2  23481  lgsqrlem3  23482  lgsqrlem4  23483  lgseisenlem1  23488  lgseisenlem2  23489  lgseisenlem4  23491  lgseisen  23492  lgsquadlem1  23493  lgsquadlem2  23494  lgsquadlem3  23495  m1lgs  23501
  Copyright terms: Public domain W3C validator