MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Structured version   Unicode version

Theorem oddprm 13894
Description: A prime not equal to  2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3490 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  Prime )
2 prmz 13779 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ZZ )
4 eldifsni 4013 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  =/=  2 )
54necomd 2707 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  N )
65neneqd 2636 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  =  N
)
7 2z 10690 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 10887 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 dvdsprm 13797 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
2  ||  N  <->  2  =  N ) )
119, 1, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  N  <->  2  =  N ) )
126, 11mtbird 301 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  ||  N )
13 1z 10688 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
14 n2dvds1 13594 . . . . 5  |-  -.  2  ||  1
15 omoe 13891 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
1613, 14, 15mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
173, 12, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  ||  ( N  -  1 ) )
18 prmnn 13778 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
19 nnm1nn0 10633 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
201, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
21 nn0z 10681 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
22 2ne0 10426 . . . . 5  |-  2  =/=  0
23 dvdsval2 13550 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
247, 22, 23mp3an12 1304 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2520, 21, 243syl 20 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
2617, 25mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
27 prmuz2 13793 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
28 uz2m1nn 10941 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
29 nnre 10341 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
30 nngt0 10363 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  1 ) )
31 2re 10403 . . . . 5  |-  2  e.  RR
32 2pos 10425 . . . . 5  |-  0  <  2
33 divgt0 10209 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3431, 32, 33mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3529, 30, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
361, 27, 28, 354syl 21 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
37 elnnz 10668 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
3826, 36, 37sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    \ cdif 3337   {csn 3889   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    < clt 9430    - cmin 9607    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873    || cdivides 13547   Primecprime 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-dvds 13548  df-prm 13776
This theorem is referenced by:  4sqlem19  14036  lgslem1  22647  lgslem4  22650  lgsval2lem  22657  lgsvalmod  22666  lgsmod  22672  lgsdirprm  22680  lgsne0  22684  lgsqrlem1  22692  lgsqrlem2  22693  lgsqrlem3  22694  lgsqrlem4  22695  lgseisenlem1  22700  lgseisenlem2  22701  lgseisenlem4  22703  lgseisen  22704  lgsquadlem1  22705  lgsquadlem2  22706  lgsquadlem3  22707  m1lgs  22713
  Copyright terms: Public domain W3C validator