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Theorem odd2np1 14027
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10903 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 divides 13969 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
43notbid 294 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
5 elznn0 10886 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6 odd2np1lem 14026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8 odd2np1lem 14026 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N
) )
9 peano2z 10912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
10 znegcl 10906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
13 zcn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
14 2cn 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
15 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
1614, 15mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
17 peano2cn 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2221recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
23 negcon2 9877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
25 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N )
2614, 13, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
27 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
2814, 27mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
29 addsubass 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) )
3028, 27, 29mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
3126, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
32 2t1e2 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3332oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
3635oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )
3731, 36syl6req 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
38 adddi 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
3914, 27, 38mp3an13 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4140oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
4237, 41eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
4342negeqd 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
449zcnd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
45 mulneg2 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  =  -u ( 2  x.  (
x  +  1 ) ) )
4614, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  =  -u (
2  x.  ( x  +  1 ) ) )
4746oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
48 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
4914, 44, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
50 negsubdi 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  (
x  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 )  =  (
-u ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5149, 27, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5247, 51eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
5343, 52eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  -> 
-u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 ) )
5554eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5625, 55syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5724, 56bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5857biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )
59 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) ) )
6059oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
6160eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
6261rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u ( x  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6312, 58, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6463ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
6564rexlimdva 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
66 znegcl 10906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  -u y  e.  ZZ )
68 zcn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
69 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
7068, 14, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  x.  2 )  e.  CC )
71 recn 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
72 negcon2 9877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  2 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
7370, 71, 72syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
74 mulneg1 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7568, 14, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7776eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  x.  2 )  =  N  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N ) )
78 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N )
7977, 78syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8073, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8180biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  N )
82 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  -u y  ->  (
k  x.  2 )  =  ( -u y  x.  2 ) )
8382eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  -u y  ->  (
( k  x.  2 )  =  N  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8483rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  ( -u y  x.  2 )  =  N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8567, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8685ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8786rexlimdva 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8865, 87orim12d 838 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
898, 88syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
9089imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
917, 90jaodan 785 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
925, 91sylbi 195 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
93 halfnz 10948 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
94 reeanv 3011 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
95 eqtr3 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 ) )
96 zcn 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
97 mulcom 9581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9896, 14, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9998eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k
) ) )
10099adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
101 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
10214, 96, 101sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
103 zcn 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
104 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
10514, 103, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
106 subadd 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
10727, 106mp3an3 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) )  =  1  <->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
108102, 105, 107syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
109 subcl 9824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( k  -  n
)  e.  CC )
110 2cnne0 10757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
111 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 1  /  2 )  =  ( k  -  n
) )
112 divmul 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
1  /  2 )  =  ( k  -  n )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
113111, 112syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
11427, 110, 113mp3an13 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  n )  e.  CC  ->  (
( k  -  n
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
115109, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
116115ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
117 subdi 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) ) )
11814, 117mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
119118ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
120119eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
121116, 120bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
122103, 96, 121syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
123 zsubcl 10913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  -  n
)  e.  ZZ )
124 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( k  -  n
)  e.  ZZ  <->  ( 1  /  2 )  e.  ZZ ) )
125123, 124syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
126125ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
127122, 126sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
128108, 127sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
129100, 128sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
13095, 129syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  (
1  /  2 )  e.  ZZ ) )
131130rexlimivv 2940 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ )
13294, 131sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ZZ )
13393, 132mto 176 . . . 4  |-  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )
13492, 133jctir 538 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
135 pm5.17 888 . . . 4  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
136 bicom 200 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  <->  ( -.  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
137135, 136bitri 249 . . 3  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
138134, 137sylib 196 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1394, 138bitrd 253 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871    || cdvds 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-dvds 13968
This theorem is referenced by:  oddm1even  14028  oexpneg  14030  opoe  14316  omoe  14317  opeo  14318  omeo  14319  iserodd  14340  leibpilem1  23247  lgsquadlem1  23605  coskpi2  31573  cosknegpi  31576  stirlinglem5  31749  fourierswlem  31902
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