MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odd2np1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem odd2np1 14365
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10969 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 divides 14307 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
31, 2mpan 676 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
43notbid 296 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
5 elznn0 10952 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6 odd2np1lem 14364 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
76adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8 odd2np1lem 14364 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N
) )
9 peano2z 10978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
10 znegcl 10972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
1211ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
13 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
14 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
15 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
1614, 15mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
17 peano2cn 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
2019adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC )
21 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2221recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
23 negcon2 9927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
25 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N )
2614, 13, 15sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
27 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
2814, 27mulcli 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
29 addsubass 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) )
3028, 27, 29mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
32 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3332oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
3635oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )
3731, 36syl6req 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
38 adddi 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
3914, 27, 38mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4140oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
4237, 41eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
4342negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
449zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
45 mulneg2 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  =  -u ( 2  x.  (
x  +  1 ) ) )
4614, 44, 45sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  =  -u (
2  x.  ( x  +  1 ) ) )
4746oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
48 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
4914, 44, 48sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
50 negsubdi 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  (
x  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 )  =  (
-u ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5149, 27, 50sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5247, 51eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
5343, 52eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
5453adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  -> 
-u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 ) )
5554eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5625, 55syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5724, 56bitrd 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5857biimpa 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )
59 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) ) )
6059oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
6160eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
6261rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u ( x  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6312, 58, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6463ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
6564rexlimdva 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
66 znegcl 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
6766ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  -u y  e.  ZZ )
68 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
69 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
7068, 14, 69sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  x.  2 )  e.  CC )
71 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
72 negcon2 9927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  2 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
7370, 71, 72syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
74 mulneg1 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7568, 14, 74sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7776eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  x.  2 )  =  N  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N ) )
78 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N )
7977, 78syl6rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8073, 79bitrd 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8180biimpa 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  N )
82 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  -u y  ->  (
k  x.  2 )  =  ( -u y  x.  2 ) )
8382eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  -u y  ->  (
( k  x.  2 )  =  N  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8483rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  ( -u y  x.  2 )  =  N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8567, 81, 84syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8685ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8786rexlimdva 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8865, 87orim12d 849 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
898, 88syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
9089imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
917, 90jaodan 794 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
925, 91sylbi 199 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
93 halfnz 11014 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
94 reeanv 2958 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
95 eqtr3 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 ) )
96 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
97 mulcom 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9896, 14, 97sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9998eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k
) ) )
10099adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
101 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
10214, 96, 101sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
103 zcn 10942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
104 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
10514, 103, 104sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
106 subadd 9878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
10727, 106mp3an3 1353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) )  =  1  <->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
108102, 105, 107syl2anr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
109 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( k  -  n
)  e.  CC )
110 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
111 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 1  /  2 )  =  ( k  -  n
) )
112 divmul 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
1  /  2 )  =  ( k  -  n )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
113111, 112syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
11427, 110, 113mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  n )  e.  CC  ->  (
( k  -  n
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
116115ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
117 subdi 10052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) ) )
11814, 117mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
119118ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
120119eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
121116, 120bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
122103, 96, 121syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
123 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  -  n
)  e.  ZZ )
124 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( k  -  n
)  e.  ZZ  <->  ( 1  /  2 )  e.  ZZ ) )
125123, 124syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
126125ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
127122, 126sylbird 239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
128108, 127sylbird 239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
129100, 128sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
13095, 129syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  (
1  /  2 )  e.  ZZ ) )
131130rexlimivv 2884 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ )
13294, 131sylbir 217 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ZZ )
13393, 132mto 180 . . . 4  |-  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )
13492, 133jctir 541 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
135 pm5.17 899 . . . 4  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
136 bicom 204 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  <->  ( -.  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
137135, 136bitri 253 . . 3  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
138134, 137sylib 200 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1394, 138bitrd 257 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-dvds 14306
This theorem is referenced by:  oddm1even  14366  oexpneg  14368  opoe  14761  omoe  14762  opeo  14763  omeo  14764  iserodd  14785  leibpilem1  23866  lgsquadlem1  24282  coskpi2  37741  cosknegpi  37744  stirlinglem5  37940  fourierswlem  38094  mod2eq1n2dvds  38725  elmod2OLD  38726  dfodd3  38780
  Copyright terms: Public domain W3C validator