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Theorem odd2np1 13901
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10892 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 divides 13845 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
43notbid 294 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
5 elznn0 10875 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6 odd2np1lem 13900 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8 odd2np1lem 13900 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N
) )
9 peano2z 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
10 znegcl 10894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
13 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
14 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
15 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
1614, 15mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
17 peano2cn 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2221recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
23 negcon2 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
25 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N )
2614, 13, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
27 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
2814, 27mulcli 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
29 addsubass 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) )
3028, 27, 29mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
3126, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
32 2t1e2 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3332oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
3635oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )
3731, 36syl6req 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
38 adddi 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
3914, 27, 38mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4140oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
4237, 41eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
4342negeqd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
44 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
459, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
46 mulneg2 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  =  -u ( 2  x.  (
x  +  1 ) ) )
4714, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  =  -u (
2  x.  ( x  +  1 ) ) )
4847oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
49 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
5014, 45, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
51 negsubdi 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  (
x  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 )  =  (
-u ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5250, 27, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5348, 52eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
5443, 53eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  -> 
-u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 ) )
5655eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5725, 56syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5824, 57bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )
60 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) ) )
6160oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
6261eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
6362rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u ( x  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6412, 59, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6564ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
6665rexlimdva 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
67 znegcl 10894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  -u y  e.  ZZ )
69 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
70 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
7169, 14, 70sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  x.  2 )  e.  CC )
72 recn 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
73 negcon2 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  2 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
7471, 72, 73syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
75 mulneg1 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7669, 14, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7877eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  x.  2 )  =  N  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N ) )
79 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N )
8078, 79syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8174, 80bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8281biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  N )
83 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  -u y  ->  (
k  x.  2 )  =  ( -u y  x.  2 ) )
8483eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  -u y  ->  (
( k  x.  2 )  =  N  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8584rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  ( -u y  x.  2 )  =  N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8668, 82, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8786ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8887rexlimdva 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8966, 88orim12d 836 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
908, 89syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
9190imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
927, 91jaodan 783 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
935, 92sylbi 195 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
94 halfnz 10935 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
95 reeanv 3029 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
96 eqtr3 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 ) )
97 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
98 mulcom 9574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9997, 14, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
10099eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k
) ) )
101100adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
102 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
10314, 97, 102sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
104 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
105 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
10614, 104, 105sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
107 subadd 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
10827, 107mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) )  =  1  <->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
109103, 106, 108syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
110 subcl 9815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( k  -  n
)  e.  CC )
111 2cnne0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
112 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 1  /  2 )  =  ( k  -  n
) )
113 divmul 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
1  /  2 )  =  ( k  -  n )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
114112, 113syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
11527, 111, 114mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  n )  e.  CC  ->  (
( k  -  n
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
117116ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
118 subdi 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) ) )
11914, 118mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
120119ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
121120eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
122117, 121bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
123104, 97, 122syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
124 zsubcl 10901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  -  n
)  e.  ZZ )
125 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( k  -  n
)  e.  ZZ  <->  ( 1  /  2 )  e.  ZZ ) )
126124, 125syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
127126ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
128123, 127sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
129109, 128sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
130101, 129sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
13196, 130syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  (
1  /  2 )  e.  ZZ ) )
132131rexlimivv 2960 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ )
13395, 132sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ZZ )
13494, 133mto 176 . . . 4  |-  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )
13593, 134jctir 538 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
136 pm5.17 886 . . . 4  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
137 bicom 200 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  <->  ( -.  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
138136, 137bitri 249 . . 3  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  <-> 
( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
139135, 138sylib 196 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1404, 139bitrd 253 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860    || cdivides 13843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 13844
This theorem is referenced by:  oddm1even  13902  oexpneg  13904  opoe  14190  omoe  14191  opeo  14192  omeo  14193  iserodd  14214  leibpilem1  22999  lgsquadlem1  23357  coskpi2  31202  cosknegpi  31205  stirlinglem5  31378  fourierswlem  31531
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