MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Unicode version

Theorem odcong 16153
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odcong  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10785 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 odid.3 . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 odid.4 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
62, 3, 4, 5oddvds 16151 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
71, 6syl3an3 1254 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
8 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
9 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simp3r 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
11 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
12 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
132, 4, 12mulgsubdir 15757 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
1514eqeq1d 2453 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  -  N
)  .x.  A )  =  .0.  <->  ( ( M 
.x.  A ) (
-g `  G )
( N  .x.  A
) )  =  .0.  ) )
162, 4mulgcl 15743 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X )
178, 9, 11, 16syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X
)
182, 4mulgcl 15743 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
198, 10, 11, 18syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
202, 5, 12grpsubeq0 15711 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  A )  e.  X  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
( ( M  .x.  A ) ( -g `  G ) ( N 
.x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
218, 17, 19, 20syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
227, 15, 213bitrd 279 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4387   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    - cmin 9693   ZZcz 10744    || cdivides 13634   Basecbs 14273   0gc0g 14477   Grpcgrp 15509   -gcsg 15512  .gcmg 15513   odcod 16129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fl 11740  df-mod 11807  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-dvds 13635  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-od 16133
This theorem is referenced by:  odf1  16164  dfod2  16166  odf1o1  16172  odf1o2  16173  chrcong  18066  cygznlem1  18105  dchrptlem1  22716
  Copyright terms: Public domain W3C validator