MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Unicode version

Theorem odcong 16446
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odcong  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10917 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 odid.3 . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 odid.4 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
62, 3, 4, 5oddvds 16444 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
71, 6syl3an3 1263 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
8 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
9 simp3l 1024 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simp3r 1025 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
11 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
12 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
132, 4, 12mulgsubdir 16045 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
1514eqeq1d 2469 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  -  N
)  .x.  A )  =  .0.  <->  ( ( M 
.x.  A ) (
-g `  G )
( N  .x.  A
) )  =  .0.  ) )
162, 4mulgcl 16031 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X )
178, 9, 11, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X
)
182, 4mulgcl 16031 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
198, 10, 11, 18syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
202, 5, 12grpsubeq0 15996 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  A )  e.  X  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
( ( M  .x.  A ) ( -g `  G ) ( N 
.x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
218, 17, 19, 20syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
227, 15, 213bitrd 279 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    - cmin 9817   ZZcz 10876    || cdivides 13864   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927  .gcmg 15928   odcod 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-od 16426
This theorem is referenced by:  odf1  16457  dfod2  16459  odf1o1  16465  odf1o2  16466  chrcong  18435  cygznlem1  18474  dchrptlem1  23405
  Copyright terms: Public domain W3C validator