MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Unicode version

Theorem odcong 16690
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odcong  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10823 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 odid.3 . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 odid.4 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
62, 3, 4, 5oddvds 16688 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
71, 6syl3an3 1261 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
8 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
9 simp3l 1022 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simp3r 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
11 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
12 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
132, 4, 12mulgsubdir 16290 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
1514eqeq1d 2384 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  -  N
)  .x.  A )  =  .0.  <->  ( ( M 
.x.  A ) (
-g `  G )
( N  .x.  A
) )  =  .0.  ) )
162, 4mulgcl 16276 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X )
178, 9, 11, 16syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X
)
182, 4mulgcl 16276 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
198, 10, 11, 18syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
202, 5, 12grpsubeq0 16241 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  A )  e.  X  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
( ( M  .x.  A ) ( -g `  G ) ( N 
.x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
218, 17, 19, 20syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
227, 15, 213bitrd 279 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    - cmin 9718   ZZcz 10781    || cdvds 13988   Basecbs 14634   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   -gcsg 16172  .gcmg 16173   odcod 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-od 16670
This theorem is referenced by:  odf1  16701  dfod2  16703  odf1o1  16709  odf1o2  16710  chrcong  18659  cygznlem1  18696  dchrptlem1  23656
  Copyright terms: Public domain W3C validator