MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcl2 Structured version   Unicode version

Theorem odcl2 16167
Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl2.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odcl2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )

Proof of Theorem odcl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odcl2.2 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 16140 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
5 elnn0 10679 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
64, 5sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  e.  NN  \/  ( O `  A
)  =  0 ) )
76ord 377 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  ( O `
 A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  =  0 ) )
8 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
9 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )
101, 2, 8, 9odinf 16165 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin )
111, 2, 8, 9odf1 16164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-> X ) )
1211biimp3a 1319 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-> X )
13 f1f 5701 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X  ->  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ --> X )
14 frn 5660 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ --> X  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  C_  X )
15 ssfi 7631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
1615expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X  ->  ( X  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin ) )
1712, 13, 14, 164syl 21 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( X  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin )
)
1810, 17mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  X  e.  Fin )
19183expia 1190 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  ->  -.  X  e.  Fin ) )
207, 19syld 44 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  ( O `
 A )  e.  NN  ->  -.  X  e.  Fin ) )
2120con4d 105 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( X  e.  Fin  ->  ( O `  A
)  e.  NN ) )
22213impia 1185 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  X  e.  Fin )  ->  ( O `  A
)  e.  NN )
23223com23 1194 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3423    |-> cmpt 4445   ran crn 4936   -->wf 5509   -1-1->wf1 5510   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Fincfn 7407   0cc0 9380   NNcn 10420   NN0cn0 10677   ZZcz 10744   Basecbs 14273   Grpcgrp 15509  .gcmg 15513   odcod 16129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-omul 7022  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-acn 8210  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fl 11740  df-mod 11807  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-dvds 13635  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-od 16133
This theorem is referenced by:  gexcl2  16189  pgpfi1  16195  odcau  16204  prmcyg  16471  lt6abl  16472  dchrptlem1  22716  dchrptlem2  22717
  Copyright terms: Public domain W3C validator