Theorem odcl2 17201

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	|- X = ( Base ` G )
odcl2.2	|- O = ( od ` G )

Assertion

Ref	Expression
odcl2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN )

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
3	1, 2	odcl 17170	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
4	3	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
5		elnn0 10871	. . . . . . 7 |- ( ( O ` A ) e. NN0 <-> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
6	4, 5	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
7	6	ord 378	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -. ( O ` A ) e. NN -> ( O ` A ) = 0 ) )
8		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
9		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) )
10	1, 2, 8, 9	odinf 17199	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> -. ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin )
11	1, 2, 8, 9	odf1 17198	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) = 0 <-> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X ) )
12	11	biimp3a 1364	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X )
13		f1f 5792	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X -> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ --> X )
14		frn 5748	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ --> X -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X )
15		ssfi 7794	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X ) -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin )
16	15	expcom 436	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X -> ( X e. Fin -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin ) )
17	12, 13, 14, 16	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( X e. Fin -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin ) )
18	10, 17	mtod 180	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> -. X e. Fin )
19	18	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) = 0 -> -. X e. Fin ) )
20	7, 19	syld 45	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -. ( O ` A ) e. NN -> -. X e. Fin ) )
21	20	con4d 108	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( X e. Fin -> ( O ` A ) e. NN ) )
22	21	3impia 1202	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ X e. Fin ) -> ( O ` A ) e. NN )
23	22	3com23 1211	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   C_ wss 3436   |-> cmpt 4479   ran crn 4850   -->wf 5593   -1-1->wf1 5594   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   0cc0 9539   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   Basecbs 15106   Grpcgrp 16654  ._gcmg 16657   odcod 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-dvds 14291  df-0g 15325  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-mulg 16661  df-od 17157

This theorem is referenced by:  gexcl2  17226  pgpfi1  17232  odcau  17241  prmcyg  17513  lt6abl  17514  dchrptlem1  24176  dchrptlem2  24177