MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcl2 Structured version   Unicode version

Theorem odcl2 16456
Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl2.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odcl2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )

Proof of Theorem odcl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odcl2.2 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 16429 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
5 elnn0 10798 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
64, 5sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  e.  NN  \/  ( O `  A
)  =  0 ) )
76ord 377 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  ( O `
 A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  =  0 ) )
8 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
9 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )
101, 2, 8, 9odinf 16454 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin )
111, 2, 8, 9odf1 16453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-> X ) )
1211biimp3a 1327 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-> X )
13 f1f 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X  ->  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ --> X )
14 frn 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ --> X  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  C_  X )
15 ssfi 7738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
1615expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X  ->  ( X  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin ) )
1712, 13, 14, 164syl 21 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( X  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin )
)
1810, 17mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  X  e.  Fin )
19183expia 1197 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  ->  -.  X  e.  Fin ) )
207, 19syld 44 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -.  ( O `
 A )  e.  NN  ->  -.  X  e.  Fin ) )
2120con4d 105 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( X  e.  Fin  ->  ( O `  A
)  e.  NN ) )
22213impia 1192 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  X  e.  Fin )  ->  ( O `  A
)  e.  NN )
23223com23 1201 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3458    |-> cmpt 4491   ran crn 4986   -->wf 5570   -1-1->wf1 5571   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Fincfn 7514   0cc0 9490   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   Basecbs 14504   Grpcgrp 15922  .gcmg 15925   odcod 16418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-od 16422
This theorem is referenced by:  gexcl2  16478  pgpfi1  16484  odcau  16493  prmcyg  16765  lt6abl  16766  dchrptlem1  23404  dchrptlem2  23405
  Copyright terms: Public domain W3C validator