Theorem odcl2 16167

Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	|- X = ( Base ` G )
odcl2.2	|- O = ( od ` G )

Assertion

Ref	Expression
odcl2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN )

Proof of Theorem odcl2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
2		odcl2.2	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
3	1, 2	odcl 16140	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
4	3	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
5		elnn0 10679	. . . . . . 7 |- ( ( O ` A ) e. NN0 <-> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
7	6	ord 377	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -. ( O ` A ) e. NN -> ( O ` A ) = 0 ) )
8		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
9		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) )
10	1, 2, 8, 9	odinf 16165	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> -. ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin )
11	1, 2, 8, 9	odf1 16164	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) = 0 <-> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X ) )
12	11	biimp3a 1319	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X )
13		f1f 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ -1-1-> X -> ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ --> X )
14		frn 5660	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) : ZZ --> X -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X )
15		ssfi 7631	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X ) -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin )
16	15	expcom 435	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) C_ X -> ( X e. Fin -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin ) )
17	12, 13, 14, 16	4syl 21	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( X e. Fin -> ran ( x e. ZZ |-> ( x (.g ` G ) A ) ) e. Fin ) )
18	10, 17	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> -. X e. Fin )
19	18	3expia 1190	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) = 0 -> -. X e. Fin ) )
20	7, 19	syld 44	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -. ( O ` A ) e. NN -> -. X e. Fin ) )
21	20	con4d 105	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( X e. Fin -> ( O ` A ) e. NN ) )
22	21	3impia 1185	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ X e. Fin ) -> ( O ` A ) e. NN )
23	22	3com23 1194	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3423   |-> cmpt 4445   ran crn 4936   -->wf 5509   -1-1->wf1 5510   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Fincfn 7407   0cc0 9380   NNcn 10420   NN0cn0 10677   ZZcz 10744   Basecbs 14273   Grpcgrp 15509  ._gcmg 15513   odcod 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-omul 7022  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-acn 8210  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fl 11740  df-mod 11807  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-dvds 13635  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-od 16133

This theorem is referenced by:  gexcl2  16189  pgpfi1  16195  odcau  16204  prmcyg  16471  lt6abl  16472  dchrptlem1  22716  dchrptlem2  22717