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Theorem odbezout 16779
Description: If  N is coprime to the order of  A, there is a modular inverse  x to cancel multiplication by  N. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odbezout  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, N    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 999 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
2 simpl2 998 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  A  e.  X
)
3 odmulgid.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 odmulgid.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
53, 4odcl 16759 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
76nn0zd 10963 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
8 bezout 14264 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
91, 7, 8syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
10 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) )  =  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
1110eqcoms 2466 . . . . . 6  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  ->  (
( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
12 simpll1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
131adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
14 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 10971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  e.  ZZ )
162adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
1716, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  ZZ )
19 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  ZZ )
2018, 19zmulcld 10971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
233, 21, 22mulgdir 16366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  x )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) ) )
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( N  x.  x
)  .x.  A )
( +g  `  G ) ( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
) ) )
2513zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
2614zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
2725, 26mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  =  ( x  x.  N ) )
2827oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( ( x  x.  N ) 
.x.  A ) )
293, 21mulgass 16371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
x  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  N )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
3128, 30eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
32 dvdsmul1 14089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
3318, 19, 32syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
34 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
353, 4, 21, 34oddvds 16770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  A )  x.  y
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  y )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
3612, 16, 20, 35syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  y )  <-> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3733, 36mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) )
3831, 37oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) ) )
393, 21mulgcl 16358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
4012, 13, 16, 39syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  X )
413, 21mulgcl 16358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
4212, 14, 40, 41syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
433, 22, 34grprid 16280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  e.  X )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4412, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4538, 44eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4624, 45eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
47 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )
4847oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
493, 21mulg1 16348 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
5016, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  .x.  A
)  =  A )
5148, 50eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  A )
5246, 51eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  .x.  A )  <->  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
5311, 52syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5453anassrs 646 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5554rexlimdva 2946 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5655reximdva 2929 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
579, 56mpd 15 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   NN0cn0 10791   ZZcz 10860    || cdvds 14070    gcd cgcd 14228   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252  .gcmg 16255   odcod 16748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-od 16752
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  17321
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