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Theorem odadd2 16670
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 16375 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
54nn0zd 10965 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
61, 2odcl 16375 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
763ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
87nn0zd 10965 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
95, 8zmulcld 10973 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
11 dvds0 13863 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  0 )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  0
)
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0 )
1413sq0id 12230 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  0 )
1514oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  0 ) )
16 ablgrp 16618 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
17 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
181, 17grpcl 15877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
1916, 18syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
201, 2odcl 16375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2221nn0zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2423zcnd 10968 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  CC )
2524mul01d 9779 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  0 )  =  0 )
2615, 25eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2712, 26breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
285adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
298adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
3028, 29gcdcld 14018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10855 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
3231sqvald 12276 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
3332oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
34 gcddvds 14015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3528, 29, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3730nn0zd 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
39 dvdsval2 13853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4037, 38, 28, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4136, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10968 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4335simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
44 dvdsval2 13853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4537, 38, 29, 44syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4643, 45mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4746zcnd 10968 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4842, 31, 47, 31mul4d 9792 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
4928zcnd 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5049, 31, 38divcan1d 10322 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  A ) )
5129zcnd 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5251, 31, 38divcan1d 10322 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  B ) )
5350, 52oveq12d 6303 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) ) )
5433, 48, 533eqtr2d 2514 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
5522adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
56 dvdsmul2 13870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
5755, 28, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
58 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
5955, 29zmulcld 10973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
60 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
61 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
62 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
631, 62, 17mulgdi 16650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
6458, 59, 60, 61, 63syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
65 dvdsmul2 13870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
6655, 29, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
6758, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
68 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
691, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
7067, 61, 59, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7166, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
7271oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( 0g
`  G ) ) )
7364, 72eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
74 dvdsmul1 13869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
7555, 29, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
7619adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
771, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
7867, 76, 59, 77syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
7975, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
801, 62mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
8167, 59, 60, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
821, 17, 68grprid 15895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  e.  X )  ->  (
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) )
8367, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A ) )
8473, 79, 833eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
851, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
8667, 60, 59, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
8784, 86mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
8855, 28zmulcld 10973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
89 dvdsgcd 14043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
9028, 88, 59, 89syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
9157, 87, 90mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
9221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0 )
93 mulgcd 14046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `
 B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
9492, 28, 29, 93syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  =  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9591, 94breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9650, 95eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
97 dvdsmulcr 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
9841, 55, 37, 38, 97syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
9996, 98mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
1001, 62, 17mulgdi 16650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
10158, 88, 60, 61, 100syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
1021, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
10367, 60, 88, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
10457, 103mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
105104oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
106101, 105eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) ) )
107 dvdsmul1 13869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
10855, 28, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
1091, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
11067, 76, 88, 109syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
111108, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
1121, 62mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
11367, 88, 61, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
1141, 17, 68grplid 15894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
11567, 113, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
116106, 111, 1153eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
1171, 2, 62, 68oddvds 16386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
11867, 61, 88, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
119116, 118mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
120 dvdsgcd 14043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  B
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
12129, 88, 59, 120syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
122119, 66, 121mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
123122, 94breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
12452, 123eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
125 dvdsmulcr 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
12646, 55, 37, 38, 125syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
127124, 126mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
12841, 46gcdcld 14018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  NN0 )
129128nn0cnd 10855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  CC )
130 1cnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  1  e.  CC )
13131mulid2d 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )
13250, 52oveq12d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )
133 mulgcdr 14048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13441, 46, 30, 133syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )
135131, 132, 1343eqtr2rd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
136129, 130, 31, 38, 135mulcan2ad 10186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 )
137 coprmdvds2 14106 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
13841, 46, 55, 136, 137syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
13999, 127, 138mp2and 679 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) ) )
14041, 46zmulcld 10973 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ )
141 zsqcl 12207 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
14237, 141syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
143 dvdsmulc 13875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A 
.+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
144140, 55, 142, 143syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
145139, 144mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14654, 145eqbrtrrd 4469 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14727, 146pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    x. cmul 9498    / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ^cexp 12135    || cdivides 13850    gcd cgcd 14006   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730  .gcmg 15734   odcod 16364   Abelcabl 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-od 16368  df-cmn 16615  df-abl 16616
This theorem is referenced by:  odadd  16671
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