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Theorem odadd2 16350
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 16058 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
54nn0zd 10764 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
61, 2odcl 16058 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
763ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
87nn0zd 10764 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
95, 8zmulcld 10772 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
11 dvds0 13567 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  0 )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  0
)
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0 )
1413sq0id 11978 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  0 )
1514oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  0 ) )
16 ablgrp 16301 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
17 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
181, 17grpcl 15570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
1916, 18syl3an1 1251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
201, 2odcl 16058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2221nn0zd 10764 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2423zcnd 10767 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  CC )
2524mul01d 9587 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  0 )  =  0 )
2615, 25eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2712, 26breqtrrd 4337 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
285adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
298adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
3028, 29gcdcld 13721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10657 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
3231sqvald 12024 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
3332oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
34 gcddvds 13718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3528, 29, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3730nn0zd 10764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
39 dvdsval2 13557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4037, 38, 28, 39syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4136, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10767 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4335simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
44 dvdsval2 13557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4537, 38, 29, 44syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4643, 45mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4746zcnd 10767 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4842, 31, 47, 31mul4d 9600 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
4928zcnd 10767 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5049, 31, 38divcan1d 10127 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  A ) )
5129zcnd 10767 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5251, 31, 38divcan1d 10127 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  B ) )
5350, 52oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) ) )
5433, 48, 533eqtr2d 2481 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
5522adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
56 dvdsmul2 13574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
5755, 28, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
58 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
5955, 29zmulcld 10772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
60 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
61 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
631, 62, 17mulgdi 16333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
6458, 59, 60, 61, 63syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
65 dvdsmul2 13574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
6655, 29, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
6758, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
68 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
691, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
7067, 61, 59, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7166, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
7271oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( 0g
`  G ) ) )
7364, 72eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
74 dvdsmul1 13573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
7555, 29, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
7619adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
771, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
7867, 76, 59, 77syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
7975, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
801, 62mulgcl 15663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
8167, 59, 60, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
821, 17, 68grprid 15588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  e.  X )  ->  (
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) )
8367, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A ) )
8473, 79, 833eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
851, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
8667, 60, 59, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
8784, 86mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
8855, 28zmulcld 10772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
89 dvdsgcd 13746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
9028, 88, 59, 89syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
9157, 87, 90mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
9221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0 )
93 mulgcd 13749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `
 B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
9492, 28, 29, 93syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  =  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9591, 94breqtrd 4335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9650, 95eqbrtrd 4331 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
97 dvdsmulcr 13581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
9841, 55, 37, 38, 97syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
9996, 98mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
1001, 62, 17mulgdi 16333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
10158, 88, 60, 61, 100syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
1021, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
10367, 60, 88, 102syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
10457, 103mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
105104oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
106101, 105eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) ) )
107 dvdsmul1 13573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
10855, 28, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
1091, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
11067, 76, 88, 109syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
111108, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
1121, 62mulgcl 15663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
11367, 88, 61, 112syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
1141, 17, 68grplid 15587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
11567, 113, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
116106, 111, 1153eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
1171, 2, 62, 68oddvds 16069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
11867, 61, 88, 117syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
119116, 118mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
120 dvdsgcd 13746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  B
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
12129, 88, 59, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
122119, 66, 121mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
123122, 94breqtrd 4335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
12452, 123eqbrtrd 4331 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
125 dvdsmulcr 13581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
12646, 55, 37, 38, 125syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
127124, 126mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
12841, 46gcdcld 13721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  NN0 )
129128nn0cnd 10657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  CC )
130 1cnd 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  1  e.  CC )
13131mulid2d 9423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )
13250, 52oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )
133 mulgcdr 13751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13441, 46, 30, 133syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )
135131, 132, 1343eqtr2rd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
136129, 130, 31, 38, 135mulcan2ad 9991 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 )
137 coprmdvds2 13808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
13841, 46, 55, 136, 137syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
13999, 127, 138mp2and 679 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) ) )
14041, 46zmulcld 10772 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ )
141 zsqcl 11955 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
14237, 141syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
143 dvdsmulc 13579 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A 
.+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
144140, 55, 142, 143syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
145139, 144mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14654, 145eqbrtrrd 4333 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14727, 146pm2.61dane 2711 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   0cc0 9301   1c1 9302    x. cmul 9306    / cdiv 10012   2c2 10390   NN0cn0 10598   ZZcz 10665   ^cexp 11884    || cdivides 13554    gcd cgcd 13709   Basecbs 14193   +g cplusg 14257   0gc0g 14397   Grpcgrp 15429  .gcmg 15433   odcod 16047   Abelcabel 16297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-dvds 13555  df-gcd 13710  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-mulg 15567  df-od 16051  df-cmn 16298  df-abl 16299
This theorem is referenced by:  odadd  16351
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