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Theorem odadd1 16644
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 16596 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 15861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
51, 4syl3an1 1261 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
72, 6odcl 16353 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
85, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
98nn0zd 10960 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
102, 6odcl 16353 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
11103ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
1211nn0zd 10960 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
132, 6odcl 16353 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
14133ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
1514nn0zd 10960 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
1612, 15gcdcld 14008 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )
1716nn0zd 10960 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ )
189, 17zmulcld 10968 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
20 dvds0 13853 . . . 4  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ  ->  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
22 gcdeq0 14011 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0  <-> 
( ( O `  A )  =  0  /\  ( O `  B )  =  0 ) ) )
2312, 15, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0  <->  (
( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 ) ) )
2423biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  0  /\  ( O `
 B )  =  0 ) )
25 oveq12 6291 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( 0  x.  0 ) )
26 0cn 9584 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2726mul01i 9765 . . . . 5  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2825, 27syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
2924, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
3021, 29breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
31 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
3212adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3315adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
34 gcddvds 14005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3717adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 dvdsmultr1 13872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  A )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) ) )
3937, 32, 33, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) ) )
4036, 39mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
4232, 33zmulcld 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
43 dvdsval2 13843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4437, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
46 simpl2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
47 simpl3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
48 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
492, 48, 3mulgdi 16628 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5031, 45, 46, 47, 49syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5135simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
52 dvdsval2 13843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5337, 41, 33, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5451, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
55 dvdsmul1 13859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
5632, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
5732zcnd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5833zcnd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5937zcnd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
6057, 58, 59, 41divassd 10351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
6156, 60breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
6231, 1syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
642, 6, 48, 63oddvds 16364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6562, 46, 45, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
67 dvdsval2 13843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6837, 41, 32, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6936, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
70 dvdsmul1 13859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  B
)  ||  ( ( O `  B )  x.  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
7133, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7257, 58mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( O `
 A ) ) )
7372oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
7458, 57, 59, 41divassd 10351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7671, 75breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
772, 6, 48, 63oddvds 16364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7862, 47, 45, 77syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7976, 78mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
8066, 79oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) ) )
812, 63grpidcl 15876 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8262, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
832, 3, 63grplid 15878 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
8462, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8580, 84eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( 0g `  G ) )
8650, 85eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
875adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
882, 6, 48, 63oddvds 16364 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
8962, 87, 45, 88syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
919adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
92 dvdsmulcr 13867 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9391, 45, 37, 41, 92syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9490, 93mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9542zcnd 10963 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  CC )
9695, 59, 41divcan1d 10317 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9794, 96breqtrd 4471 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9830, 97pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488    x. cmul 9493    / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860    || cdivides 13840    gcd cgcd 13996   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720  .gcmg 15724   odcod 16342   Abelcabl 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841  df-gcd 13997  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-od 16346  df-cmn 16593  df-abl 16594
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