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Theorem odadd1 17178
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 17127 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 16387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
51, 4syl3an1 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
72, 6odcl 16884 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
85, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
98nn0zd 11006 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
102, 6odcl 16884 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
11103ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
1211nn0zd 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
132, 6odcl 16884 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
14133ad2ant3 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
1514nn0zd 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
1612, 15gcdcld 14365 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )
1716nn0zd 11006 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ )
189, 17zmulcld 11014 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ )
1918adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
20 dvds0 14208 . . . 4  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ  ->  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
2119, 20syl 17 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
22 gcdeq0 14368 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0  <-> 
( ( O `  A )  =  0  /\  ( O `  B )  =  0 ) ) )
2312, 15, 22syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0  <->  (
( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 ) ) )
2423biimpa 482 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  0  /\  ( O `
 B )  =  0 ) )
25 oveq12 6287 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( 0  x.  0 ) )
26 0cn 9618 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2726mul01i 9804 . . . . 5  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2825, 27syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
2924, 28syl 17 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
3021, 29breqtrrd 4421 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
31 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
3212adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3315adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
34 gcddvds 14362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3717adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 dvdsmultr1 14228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  A )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) ) )
3937, 32, 33, 38syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) ) )
4036, 39mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
41 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
4232, 33zmulcld 11014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
43 dvdsval2 14198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4437, 41, 42, 43syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
46 simpl2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
47 simpl3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
48 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
492, 48, 3mulgdi 17159 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5031, 45, 46, 47, 49syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5135simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
52 dvdsval2 14198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5337, 41, 33, 52syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5451, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
55 dvdsmul1 14214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
5632, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
5732zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5833zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5937zcnd 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
6057, 58, 59, 41divassd 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
6156, 60breqtrrd 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
6231, 1syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
63 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
642, 6, 48, 63oddvds 16895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6562, 46, 45, 64syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
67 dvdsval2 14198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6837, 41, 32, 67syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6936, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
70 dvdsmul1 14214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  B
)  ||  ( ( O `  B )  x.  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
7133, 69, 70syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7257, 58mulcomd 9647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( O `
 A ) ) )
7372oveq1d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
7458, 57, 59, 41divassd 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7671, 75breqtrrd 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
772, 6, 48, 63oddvds 16895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7862, 47, 45, 77syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7976, 78mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
8066, 79oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) ) )
812, 63grpidcl 16402 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8262, 81syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
832, 3, 63grplid 16404 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
8462, 82, 83syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8580, 84eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( 0g `  G ) )
8650, 85eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
875adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
882, 6, 48, 63oddvds 16895 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
8962, 87, 45, 88syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
919adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
92 dvdsmulcr 14222 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9391, 45, 37, 41, 92syl112anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9490, 93mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9542zcnd 11009 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  CC )
9695, 59, 41divcan1d 10362 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9794, 96breqtrd 4419 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9830, 97pm2.61dane 2721 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522    x. cmul 9527    / cdiv 10247   NN0cn0 10836   ZZcz 10905    || cdvds 14195    gcd cgcd 14353   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377  .gcmg 16380   odcod 16873   Abelcabl 17123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-od 16877  df-cmn 17124  df-abl 17125
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