MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Unicode version

Theorem ocvss 18461
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvss  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2460 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocvss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5elocv 18459 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
76simp2bi 1007 . 2  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  ->  x  e.  V )
87ssriv 3501 1  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .icip 14549   0gc0g 14684   ocvcocv 18451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-ov 6278  df-ocv 18454
This theorem is referenced by:  ocvocv  18462  ocvlss  18463  ocvlsp  18467  ocv1  18470  cssval  18473  cssss  18476  ocvcss  18478  cssincl  18479  csslss  18482  lsmcss  18483  mrccss  18485  pjcss  18507  csscld  21417  clsocv  21418
  Copyright terms: Public domain W3C validator