MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Unicode version

Theorem ocvss 18999
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvss  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2402 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocvss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5elocv 18997 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
76simp2bi 1013 . 2  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  ->  x  e.  V )
87ssriv 3446 1  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    C_ wss 3414   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912   .icip 14914   0gc0g 15054   ocvcocv 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-ocv 18992
This theorem is referenced by:  ocvocv  19000  ocvlss  19001  ocvlsp  19005  ocv1  19008  cssval  19011  cssss  19014  ocvcss  19016  cssincl  19017  csslss  19020  lsmcss  19021  mrccss  19023  pjcss  19045  csscld  21981  clsocv  21982
  Copyright terms: Public domain W3C validator