MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvpj Structured version   Unicode version

Theorem ocvpj 18164
Description: The orthocomplement of a projection subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvpj.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
ocvpj.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvpj  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
(  ._|_  `  T )  e.  dom  K )

Proof of Theorem ocvpj
StepHypRef Expression
1 ocvpj.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( CSubSp `  W )  =  (
CSubSp `  W )
31, 2pjcss 18163 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  K  C_  ( CSubSp `
 W ) )
43sselda 3377 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( CSubSp `  W ) )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 2cssss 18132 . . . 4  |-  ( T  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
8 ocvpj.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
105, 8, 9ocvlss 18119 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  ( Base `  W
) )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
117, 10syldan 470 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
(  ._|_  `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
12 phllmod 18081 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
14 lmodabl 17014 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
169lsssssubg 17061 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
1713, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1817, 11sseldd 3378 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
(  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
192, 9csslss 18138 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( CSubSp `  W )
)  ->  T  e.  ( LSubSp `  W )
)
204, 19syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
2117, 20sseldd 3378 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
22 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
2322lsmcom 16361 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( (  ._|_  `  T
) ( LSSum `  W
) T )  =  ( T ( LSSum `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
2415, 18, 21, 23syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( (  ._|_  `  T
) ( LSSum `  W
) T )  =  ( T ( LSSum `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
258, 2cssi 18131 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  T  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
264, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
2726oveq2d 6128 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( (  ._|_  `  T
) ( LSSum `  W
) T )  =  ( (  ._|_  `  T
) ( LSSum `  W
) (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) )
285, 9, 8, 22, 1pjdm2 18158 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
2928simplbda 624 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( LSSum `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  ( Base `  W
) )
3024, 27, 293eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( (  ._|_  `  T
) ( LSSum `  W
) (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  =  ( Base `  W ) )
315, 9, 8, 22, 1pjdm2 18158 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( (  ._|_  `  T )  e.  dom  K  <-> 
( (  ._|_  `  T
)  e.  ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  T )
( LSSum `  W )
(  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
3231adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( (  ._|_  `  T
)  e.  dom  K  <->  ( (  ._|_  `  T )  e.  ( LSubSp `  W
)  /\  ( (  ._|_  `  T ) (
LSSum `  W ) ( 
._|_  `  (  ._|_  `  T
) ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
3311, 30, 32mpbir2and 913 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
(  ._|_  `  T )  e.  dom  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3349   dom cdm 4861   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195  SubGrpcsubg 15696   LSSumclsm 16154   Abelcabel 16299   LModclmod 16970   LSubSpclss 17035   PreHilcphl 18075   ocvcocv 18107   CSubSpccss 18108   projcpj 18147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-pj1 16157  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-rnghom 16828  df-staf 16952  df-srng 16953  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lmhm 17125  df-lvec 17206  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-phl 18077  df-ocv 18110  df-css 18111  df-pj 18150
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator