MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvocv Structured version   Unicode version

Theorem ocvocv 18998
Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvocv  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem ocvocv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 ocvss.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvss 18997 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V
)
5 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  V )
65sselda 3441 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  V )
7 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
101, 7, 8, 9, 2ocvi 18996 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1110ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
1211adantll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
13 simplll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  W  e.  PreHil )
144sselda 3441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  y  e.  V )
156adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  V )
168, 7, 1, 9iporthcom 18966 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  (
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1812, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1918ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  A. y  e.  (  ._|_  `  S
) ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
201, 7, 8, 9, 2elocv 18995 . . . 4  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <-> 
( (  ._|_  `  S
)  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  (  ._|_  `  S ) ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
214, 6, 19, 20syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
2221ex 432 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
2322ssrdv 3447 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   .icip 14912   0gc0g 15052   PreHilcphl 18955   ocvcocv 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-ghm 16587  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-rnghom 17682  df-staf 17812  df-srng 17813  df-lmod 17832  df-lmhm 17986  df-lvec 18067  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-phl 18957  df-ocv 18990
This theorem is referenced by:  ocvsscon  19002  ocvlsp  19003  iscss2  19013  ocvcss  19014  mrccss  19021
  Copyright terms: Public domain W3C validator