Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlss Structured version   Unicode version

Theorem ocvlss 18891
 Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v
ocvss.o
ocvlss.l
Assertion
Ref Expression
ocvlss

Proof of Theorem ocvlss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4
2 ocvss.o . . . 4
31, 2ocvss 18889 . . 3
43a1i 11 . 2
5 simpr 459 . . . 4
6 phllmod 18853 . . . . . 6
76adantr 463 . . . . 5
8 eqid 2400 . . . . . 6
91, 8lmod0vcl 17751 . . . . 5
107, 9syl 17 . . . 4
11 simpll 752 . . . . . 6
125sselda 3439 . . . . . 6
13 eqid 2400 . . . . . . 7 Scalar Scalar
14 eqid 2400 . . . . . . 7
15 eqid 2400 . . . . . . 7 Scalar Scalar
1613, 14, 1, 15, 8ip0l 18859 . . . . . 6 Scalar
1711, 12, 16syl2anc 659 . . . . 5 Scalar
1817ralrimiva 2815 . . . 4 Scalar
191, 14, 13, 15, 2elocv 18887 . . . 4 Scalar
205, 10, 18, 19syl3anbrc 1179 . . 3
21 ne0i 3741 . . 3
2220, 21syl 17 . 2
235adantr 463 . . . 4 Scalar
247adantr 463 . . . . 5 Scalar
25 simpr1 1001 . . . . . 6 Scalar Scalar
26 simpr2 1002 . . . . . . 7 Scalar
273, 26sseldi 3437 . . . . . 6 Scalar
28 eqid 2400 . . . . . . 7
29 eqid 2400 . . . . . . 7 Scalar Scalar
301, 13, 28, 29lmodvscl 17739 . . . . . 6 Scalar
3124, 25, 27, 30syl3anc 1228 . . . . 5 Scalar
32 simpr3 1003 . . . . . 6 Scalar
333, 32sseldi 3437 . . . . 5 Scalar
34 eqid 2400 . . . . . 6
351, 34lmodvacl 17736 . . . . 5
3624, 31, 33, 35syl3anc 1228 . . . 4 Scalar
3711adantlr 713 . . . . . . 7 Scalar
3831adantr 463 . . . . . . 7 Scalar
3933adantr 463 . . . . . . 7 Scalar
4012adantlr 713 . . . . . . 7 Scalar
41 eqid 2400 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4213, 14, 1, 34, 41ipdir 18862 . . . . . . 7 Scalar
4337, 38, 39, 40, 42syl13anc 1230 . . . . . 6 Scalar Scalar
4425adantr 463 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4527adantr 463 . . . . . . . . 9 Scalar
46 eqid 2400 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
4713, 14, 1, 29, 28, 46ipass 18868 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4837, 44, 45, 40, 47syl13anc 1230 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
491, 14, 13, 15, 2ocvi 18888 . . . . . . . . . 10 Scalar
5026, 49sylan 469 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
5150oveq2d 6248 . . . . . . . 8 Scalar Scalar ScalarScalar
5224adantr 463 . . . . . . . . . 10 Scalar
5313lmodring 17730 . . . . . . . . . 10 Scalar
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
5529, 46, 15ringrz 17446 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5654, 44, 55syl2anc 659 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar
5748, 51, 563eqtrd 2445 . . . . . . 7 Scalar Scalar
581, 14, 13, 15, 2ocvi 18888 . . . . . . . 8 Scalar
5932, 58sylan 469 . . . . . . 7 Scalar Scalar
6057, 59oveq12d 6250 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
6113lmodfgrp 17731 . . . . . . 7 Scalar
6229, 15grpidcl 16292 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
6329, 41, 15grplid 16294 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
6462, 63mpdan 666 . . . . . . 7 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
6552, 61, 643syl 20 . . . . . 6 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
6643, 60, 653eqtrd 2445 . . . . 5 Scalar Scalar
6766ralrimiva 2815 . . . 4 Scalar Scalar
681, 14, 13, 15, 2elocv 18887 . . . 4 Scalar
6923, 36, 67, 68syl3anbrc 1179 . . 3 Scalar
7069ralrimivvva 2823 . 2 Scalar
71 ocvlss.l . . 3
7213, 29, 1, 34, 28, 71islss 17791 . 2 Scalar
734, 22, 70, 72syl3anbrc 1179 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751   wss 3411  c0 3735  cfv 5523  (class class class)co 6232  cbs 14731   cplusg 14799  cmulr 14800  Scalarcsca 14802  cvsca 14803  cip 14804  c0g 14944  cgrp 16267  crg 17408  clmod 17722  clss 17788  cphl 18847  cocv 18879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-ghm 16479  df-mgp 17352  df-ring 17410  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lmhm 17878  df-lvec 17959  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-phl 18849  df-ocv 18882 This theorem is referenced by:  ocvin  18893  ocvlsp  18895  csslss  18910  pjdm2  18930  pjff  18931  pjf2  18933  pjfo  18934  ocvpj  18936  pjthlem2  22035  pjth  22036
 Copyright terms: Public domain W3C validator