MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlsp Structured version   Unicode version

Theorem ocvlsp 18219
Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvlsp.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvlsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvlsp  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  =  (  ._|_  `  S ) )

Proof of Theorem ocvlsp
StepHypRef Expression
1 phllmod 18177 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 ocvlsp.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ocvlsp.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
42, 3lspssid 17181 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
51, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
6 ocvlsp.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
76ocv2ss 18216 . . 3  |-  ( S 
C_  ( N `  S )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
92, 6ocvss 18213 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V )
112, 6ocvocv 18214 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
1210, 11syldan 470 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
131adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
14 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
152, 6, 14ocvlss 18215 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1610, 15syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
172, 6ocvocv 18214 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
1814, 3lspssp 17184 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  ( N `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
1913, 16, 17, 18syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( N `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
206ocv2ss 18216 . . . 4  |-  ( ( N `  S ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S ) ) )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S
) ) )
2212, 21sstrd 3467 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S ) ) )
238, 22eqssd 3474 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  =  (  ._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429   ` cfv 5519   Basecbs 14285   LModclmod 17063   LSubSpclss 17128   LSpanclspn 17167   PreHilcphl 18171   ocvcocv 18203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-grp 15656  df-ghm 15856  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-rnghom 16921  df-staf 17045  df-srng 17046  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lmhm 17218  df-lvec 17299  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-phl 18173  df-ocv 18206
This theorem is referenced by:  ocvz  18221  obselocv  18271  obslbs  18273
  Copyright terms: Public domain W3C validator