MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocv2ss Structured version   Unicode version

Theorem ocv2ss 19004
Description: Orthocomplements reverse subset inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocv2ss  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)

Proof of Theorem ocv2ss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3451 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  T  C_  ( Base `  W ) ) )
2 idd 25 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  ( Base `  W )  ->  x  e.  ( Base `  W
) ) )
3 ssralv 3505 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  ->  A. y  e.  T  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
41, 2, 33anim123d 1310 . . 3  |-  ( T 
C_  S  ->  (
( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( T  C_  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
7 eqid 2404 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
9 ocv2ss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
105, 6, 7, 8, 9elocv 18999 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
115, 6, 7, 8, 9elocv 18999 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  T
)  <->  ( T  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
124, 10, 113imtr4g 272 . 2  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  S )  ->  x  e.  (  ._|_  `  T
) ) )
1312ssrdv 3450 1  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756    C_ wss 3416   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843  Scalarcsca 14914   .icip 14916   0gc0g 15056   ocvcocv 18991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-ocv 18994
This theorem is referenced by:  ocvsscon  19006  ocvlsp  19007  ocvcss  19018  cssmre  19024  mrccss  19025  clsocv  21984
  Copyright terms: Public domain W3C validator