MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocv2ss Structured version   Unicode version

Theorem ocv2ss 18073
Description: Orthocomplements reverse subset inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocv2ss  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)

Proof of Theorem ocv2ss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3358 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  T  C_  ( Base `  W ) ) )
2 idd 24 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  ( Base `  W )  ->  x  e.  ( Base `  W
) ) )
3 ssralv 3411 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  ->  A. y  e.  T  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
41, 2, 33anim123d 1296 . . 3  |-  ( T 
C_  S  ->  (
( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( T  C_  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
7 eqid 2438 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
9 ocv2ss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
105, 6, 7, 8, 9elocv 18068 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
115, 6, 7, 8, 9elocv 18068 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  T
)  <->  ( T  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
124, 10, 113imtr4g 270 . 2  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  S )  ->  x  e.  (  ._|_  `  T
) ) )
1312ssrdv 3357 1  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   .icip 14235   0gc0g 14370   ocvcocv 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-ocv 18063
This theorem is referenced by:  ocvsscon  18075  ocvlsp  18076  ocvcss  18087  cssmre  18093  mrccss  18094  clsocv  20737
  Copyright terms: Public domain W3C validator