MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocv2ss Structured version   Unicode version

Theorem ocv2ss 18216
Description: Orthocomplements reverse subset inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocv2ss  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)

Proof of Theorem ocv2ss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3464 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  T  C_  ( Base `  W ) ) )
2 idd 24 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  ( Base `  W )  ->  x  e.  ( Base `  W
) ) )
3 ssralv 3517 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  ->  A. y  e.  T  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
41, 2, 33anim123d 1297 . . 3  |-  ( T 
C_  S  ->  (
( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( T  C_  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
7 eqid 2451 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
9 ocv2ss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
105, 6, 7, 8, 9elocv 18211 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
115, 6, 7, 8, 9elocv 18211 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  T
)  <->  ( T  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
124, 10, 113imtr4g 270 . 2  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  S )  ->  x  e.  (  ._|_  `  T
) ) )
1312ssrdv 3463 1  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3429   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   .icip 14354   0gc0g 14489   ocvcocv 18203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527  df-ov 6196  df-ocv 18206
This theorem is referenced by:  ocvsscon  18218  ocvlsp  18219  ocvcss  18230  cssmre  18236  mrccss  18237  clsocv  20887
  Copyright terms: Public domain W3C validator