MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocv2ss Structured version   Unicode version

Theorem ocv2ss 18471
Description: Orthocomplements reverse subset inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocv2ss  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)

Proof of Theorem ocv2ss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3511 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  T  C_  ( Base `  W ) ) )
2 idd 24 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  ( Base `  W )  ->  x  e.  ( Base `  W
) ) )
3 ssralv 3564 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  ->  A. y  e.  T  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
41, 2, 33anim123d 1306 . . 3  |-  ( T 
C_  S  ->  (
( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( T  C_  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
7 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
9 ocv2ss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
105, 6, 7, 8, 9elocv 18466 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
115, 6, 7, 8, 9elocv 18466 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  T
)  <->  ( T  C_  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  T  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
124, 10, 113imtr4g 270 . 2  |-  ( T 
C_  S  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  S )  ->  x  e.  (  ._|_  `  T
) ) )
1312ssrdv 3510 1  |-  ( T 
C_  S  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486  Scalarcsca 14554   .icip 14556   0gc0g 14691   ocvcocv 18458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-ocv 18461
This theorem is referenced by:  ocvsscon  18473  ocvlsp  18474  ocvcss  18485  cssmre  18491  mrccss  18492  clsocv  21425
  Copyright terms: Public domain W3C validator