Theorem ocsh 26936

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocsh	|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Proof of Theorem ocsh

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocval 26933	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) = { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } )
2		ssrab2 3514	. . . 4 |- { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } C_ ~H
3	1, 2	syl6eqss 3482	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
4		ssel 3426	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) )
5		hi01 26749	. . . . . . 7 |- ( y e. ~H -> ( 0h .ih y ) = 0 )
6	4, 5	syl6 34	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( 0h .ih y ) = 0 ) )
7	6	ralrimiv 2800	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 )
8		ax-hv0cl 26656	. . . . 5 |- 0h e. ~H
9	7, 8	jctil 540	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) )
10		ocel 26934	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ( _|_ ` A ) <-> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) )
11	9, 10	mpbird 236	. . 3 |- ( A C_ ~H -> 0h e. ( _|_ ` A ) )
12	3, 11	jca 535	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) )
13		ssel2 3427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) -> z e. ~H )
14		ax-his2 26736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
15	14	3expa 1208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
16		oveq12 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = ( 0 + 0 ) )
17		00id 9808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 0 ) = 0
18	16, 17	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = 0 )
19	15, 18	sylan9eq 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 )
20	19	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
21	20	ancoms 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
22	13, 21	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
23	22	an32s 813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
24	23	ralimdva 2796	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
25	24	imdistanda 699	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
26		hvaddcl 26665	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
27	26	anim1i 572	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
28	25, 27	syl6 34	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
29		ocel 26934	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( x e. ( _|_ ` A ) <-> ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) ) )
30		ocel 26934	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` A ) <-> ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
31	29, 30	anbi12d 717	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
32		an4 833	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
33		r19.26 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) )
34	33	anbi2i 700	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
35	32, 34	bitr4i 256	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) )
36	31, 35	syl6bb 265	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
37		ocel 26934	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
38	28, 36, 37	3imtr4d 272	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
39	38	ralrimivv 2808	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) )
40		mul01 9812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
41		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = ( x x. 0 ) )
42	41	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 <-> ( x x. 0 ) = 0 ) )
43	40, 42	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
44	43	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
45		ax-his3 26737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) .ih z ) = ( x x. ( y .ih z ) ) )
46	45	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
47	46	3expa 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
48	47	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
49	44, 48	sylibrd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
50	13, 49	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
51	50	an32s 813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
52	51	ralimdva 2796	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( y .ih z ) = 0 -> A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
53	52	imdistanda 699	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
54		hvmulcl 26666	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
55	54	anim1i 572	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
56	53, 55	syl6 34	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
57	30	anbi2d 710	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
58		anass 655	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
59	57, 58	syl6bbr 267	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
60		ocel 26934	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
61	56, 59, 60	3imtr4d 272	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
62	61	ralrimivv 2808	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) )
63	39, 62	jca 535	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
64		issh2 26862	. 2 |- ( ( _|_ ` A ) e. SH <-> ( ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) /\ ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) )
65	12, 63, 64	sylanbrc 670	1 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   C_ wss 3404   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   ~Hchil 26572   +h cva 26573   .h csm 26574   .ih csp 26575   0hc0v 26577   SHcsh 26581   _|_cort 26583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-hilex 26652  ax-hfvadd 26653  ax-hv0cl 26656  ax-hfvmul 26658  ax-hvmul0 26663  ax-hfi 26732  ax-his2 26736  ax-his3 26737

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sh 26860  df-oc 26905

This theorem is referenced by:  shocsh  26937  ocss  26938  occl  26957  spanssoc  27002  ssjo  27100  chscllem2  27291