Theorem ocsh 22738

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocsh	|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Proof of Theorem ocsh

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocval 22735	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) = { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } )
2		ssrab2 3388	. . . 4 |- { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } C_ ~H
3	1, 2	syl6eqss 3358	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
4		ssel 3302	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) )
5		hi01 22551	. . . . . . 7 |- ( y e. ~H -> ( 0h .ih y ) = 0 )
6	4, 5	syl6 31	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( 0h .ih y ) = 0 ) )
7	6	ralrimiv 2748	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 )
8		ax-hv0cl 22459	. . . . 5 |- 0h e. ~H
9	7, 8	jctil 524	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) )
10		ocel 22736	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ( _|_ ` A ) <-> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) )
11	9, 10	mpbird 224	. . 3 |- ( A C_ ~H -> 0h e. ( _|_ ` A ) )
12	3, 11	jca 519	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) )
13		ssel2 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) -> z e. ~H )
14		ax-his2 22538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
15	14	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
16		oveq12 6049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = ( 0 + 0 ) )
17		00id 9197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 0 ) = 0
18	16, 17	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = 0 )
19	15, 18	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 )
20	19	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
21	20	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
22	13, 21	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
23	22	an32s 780	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
24	23	ralimdva 2744	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
25	24	imdistanda 675	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
26		hvaddcl 22468	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
27	26	anim1i 552	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
28	25, 27	syl6 31	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
29		ocel 22736	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( x e. ( _|_ ` A ) <-> ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) ) )
30		ocel 22736	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` A ) <-> ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
31	29, 30	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
32		an4 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
33		r19.26 2798	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) )
34	33	anbi2i 676	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
35	32, 34	bitr4i 244	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) )
36	31, 35	syl6bb 253	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
37		ocel 22736	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
38	28, 36, 37	3imtr4d 260	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
39	38	ralrimivv 2757	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) )
40		mul01 9201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
41		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = ( x x. 0 ) )
42	41	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 <-> ( x x. 0 ) = 0 ) )
43	40, 42	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
44	43	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
45		ax-his3 22539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) .ih z ) = ( x x. ( y .ih z ) ) )
46	45	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
47	46	3expa 1153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
48	47	ancoms 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
49	44, 48	sylibrd 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
50	13, 49	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
51	50	an32s 780	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
52	51	ralimdva 2744	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( y .ih z ) = 0 -> A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
53	52	imdistanda 675	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
54		hvmulcl 22469	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
55	54	anim1i 552	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
56	53, 55	syl6 31	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
57	30	anbi2d 685	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
58		anass 631	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
59	57, 58	syl6bbr 255	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
60		ocel 22736	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
61	56, 59, 60	3imtr4d 260	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
62	61	ralrimivv 2757	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) )
63	39, 62	jca 519	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
64		issh2 22664	. 2 |- ( ( _|_ ` A ) e. SH <-> ( ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) /\ ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) )
65	12, 63, 64	sylanbrc 646	1 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   + caddc 8949   x. cmul 8951   ~Hchil 22375   +h cva 22376   .h csm 22377   .ih csp 22378   0hc0v 22380   SHcsh 22384   _|_cort 22386

This theorem is referenced by:  shocsh  22739  ocss  22740  occl  22759  spanssoc  22804  ssjo  22902  chscllem2  23093

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hv0cl 22459  ax-hfvmul 22461  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his2 22538  ax-his3 22539

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sh 22662  df-oc 22707