Theorem ocsh 24858

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocsh	|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Proof of Theorem ocsh

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocval 24855	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) = { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } )
2		ssrab2 3548	. . . 4 |- { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } C_ ~H
3	1, 2	syl6eqss 3517	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
4		ssel 3461	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) )
5		hi01 24670	. . . . . . 7 |- ( y e. ~H -> ( 0h .ih y ) = 0 )
6	4, 5	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( 0h .ih y ) = 0 ) )
7	6	ralrimiv 2828	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 )
8		ax-hv0cl 24577	. . . . 5 |- 0h e. ~H
9	7, 8	jctil 537	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) )
10		ocel 24856	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ( _|_ ` A ) <-> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) )
11	9, 10	mpbird 232	. . 3 |- ( A C_ ~H -> 0h e. ( _|_ ` A ) )
12	3, 11	jca 532	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) )
13		ssel2 3462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) -> z e. ~H )
14		ax-his2 24657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
15	14	3expa 1188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
16		oveq12 6212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = ( 0 + 0 ) )
17		00id 9658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 0 ) = 0
18	16, 17	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = 0 )
19	15, 18	sylan9eq 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 )
20	19	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
21	20	ancoms 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
22	13, 21	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
23	22	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
24	23	ralimdva 2832	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
25	24	imdistanda 693	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
26		hvaddcl 24586	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
27	26	anim1i 568	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
28	25, 27	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
29		ocel 24856	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( x e. ( _|_ ` A ) <-> ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) ) )
30		ocel 24856	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` A ) <-> ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
32		an4 820	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
33		r19.26 2955	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) )
34	33	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
35	32, 34	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) )
36	31, 35	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
37		ocel 24856	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
38	28, 36, 37	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
39	38	ralrimivv 2913	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) )
40		mul01 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
41		oveq2 6211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = ( x x. 0 ) )
42	41	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 <-> ( x x. 0 ) = 0 ) )
43	40, 42	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
44	43	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
45		ax-his3 24658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) .ih z ) = ( x x. ( y .ih z ) ) )
46	45	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
47	46	3expa 1188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
48	47	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
49	44, 48	sylibrd 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
50	13, 49	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
51	50	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
52	51	ralimdva 2832	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( y .ih z ) = 0 -> A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
53	52	imdistanda 693	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
54		hvmulcl 24587	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
55	54	anim1i 568	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
56	53, 55	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
57	30	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
58		anass 649	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
59	57, 58	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
60		ocel 24856	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
61	56, 59, 60	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
62	61	ralrimivv 2913	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) )
63	39, 62	jca 532	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
64		issh2 24783	. 2 |- ( ( _|_ ` A ) e. SH <-> ( ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) /\ ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) )
65	12, 63, 64	sylanbrc 664	1 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   + caddc 9399   x. cmul 9401   ~Hchil 24493   +h cva 24494   .h csm 24495   .ih csp 24496   0hc0v 24498   SHcsh 24502   _|_cort 24504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hv0cl 24577  ax-hfvmul 24579  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his2 24657  ax-his3 24658

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sh 24781  df-oc 24827

This theorem is referenced by:  shocsh  24859  ocss  24860  occl  24879  spanssoc  24924  ssjo  25022  chscllem2  25213