Theorem ocsh 25974

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocsh	|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Proof of Theorem ocsh

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocval 25971	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) = { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } )
2		ssrab2 3585	. . . 4 |- { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } C_ ~H
3	1, 2	syl6eqss 3554	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
4		ssel 3498	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) )
5		hi01 25786	. . . . . . 7 |- ( y e. ~H -> ( 0h .ih y ) = 0 )
6	4, 5	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( 0h .ih y ) = 0 ) )
7	6	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 )
8		ax-hv0cl 25693	. . . . 5 |- 0h e. ~H
9	7, 8	jctil 537	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) )
10		ocel 25972	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ( _|_ ` A ) <-> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) )
11	9, 10	mpbird 232	. . 3 |- ( A C_ ~H -> 0h e. ( _|_ ` A ) )
12	3, 11	jca 532	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) )
13		ssel2 3499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) -> z e. ~H )
14		ax-his2 25773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
15	14	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) )
16		oveq12 6294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = ( 0 + 0 ) )
17		00id 9755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 0 ) = 0
18	16, 17	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = 0 )
19	15, 18	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 )
20	19	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
21	20	ancoms 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
22	13, 21	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
23	22	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
24	23	ralimdva 2872	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
25	24	imdistanda 693	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
26		hvaddcl 25702	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
27	26	anim1i 568	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) )
28	25, 27	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
29		ocel 25972	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( x e. ( _|_ ` A ) <-> ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) ) )
30		ocel 25972	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` A ) <-> ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
32		an4 822	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
33		r19.26 2989	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) )
34	33	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
35	32, 34	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) )
36	31, 35	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
37		ocel 25972	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
38	28, 36, 37	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
39	38	ralrimivv 2884	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) )
40		mul01 9759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
41		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = ( x x. 0 ) )
42	41	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 <-> ( x x. 0 ) = 0 ) )
43	40, 42	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
44	43	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
45		ax-his3 25774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) .ih z ) = ( x x. ( y .ih z ) ) )
46	45	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
47	46	3expa 1196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
48	47	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) )
49	44, 48	sylibrd 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
50	13, 49	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
51	50	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
52	51	ralimdva 2872	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( y .ih z ) = 0 -> A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
53	52	imdistanda 693	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
54		hvmulcl 25703	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
55	54	anim1i 568	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) )
56	53, 55	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
57	30	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) )
58		anass 649	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
59	57, 58	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) )
60		ocel 25972	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) )
61	56, 59, 60	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
62	61	ralrimivv 2884	. . 3 |- ( A C_ ~H -> A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) )
63	39, 62	jca 532	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) )
64		issh2 25899	. 2 |- ( ( _|_ ` A ) e. SH <-> ( ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) /\ ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) )
65	12, 63, 64	sylanbrc 664	1 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   + caddc 9496   x. cmul 9498   ~Hchil 25609   +h cva 25610   .h csm 25611   .ih csp 25612   0hc0v 25614   SHcsh 25618   _|_cort 25620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hv0cl 25693  ax-hfvmul 25695  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his2 25773  ax-his3 25774

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-sh 25897  df-oc 25943

This theorem is referenced by:  shocsh  25975  ocss  25976  occl  25995  spanssoc  26040  ssjo  26138  chscllem2  26329