HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocsh Structured version   Unicode version

Theorem ocsh 25974
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocsh  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem ocsh
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocval 25971 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  =  {
x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 } )
2 ssrab2 3585 . . . 4  |-  { x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 }  C_  ~H
31, 2syl6eqss 3554 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
4 ssel 3498 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
5 hi01 25786 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
64, 5syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
76ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
8 ax-hv0cl 25693 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
97, 8jctil 537 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
10 ocel 25972 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) ) )
119, 10mpbird 232 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  0h  e.  ( _|_ `  A ) )
123, 11jca 532 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A ) ) )
13 ssel2 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ~H )
14 ax-his2 25773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  +h  y
)  .ih  z )  =  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) ) )
15143expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  ( ( x  .ih  z
)  +  ( y 
.ih  z ) ) )
16 oveq12 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
17 00id 9755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1816, 17syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  0 )
1915, 18sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 )
2019ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  (
y  .ih  z )  =  0 )  -> 
( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2120ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
2213, 21sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2322an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2423ralimdva 2872 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2524imdistanda 693 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) ) )
26 hvaddcl 25702 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
2726anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2825, 27syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  +h  y
)  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
29 ocel 25972 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 ) ) )
30 ocel 25972 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3129, 30anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) ) )
32 an4 822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) )
33 r19.26 2989 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) )
3433anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3532, 34bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
3631, 35syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
37 ocel 25972 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
3828, 36, 373imtr4d 268 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
) ) )
3938ralrimivv 2884 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
40 mul01 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
41 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  ( x  x.  0 ) )
4241eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0  <->  (
x  x.  0 )  =  0 ) )
4340, 42syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0 ) )
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
45 ax-his3 25774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  ( x  x.  ( y  .ih  z
) ) )
4645eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0  <->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
47463expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
4944, 48sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) )
5013, 49sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( y  .ih  z )  =  0  ->  ( ( x  .h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
5150an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
5251ralimdva 2872 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0  ->  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5352imdistanda 693 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
54 hvmulcl 25703 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
5554anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5653, 55syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
5730anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
58 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
5957, 58syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
60 ocel 25972 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
6156, 59, 603imtr4d 268 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( _|_ `  A ) ) )
6261ralrimivv 2884 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
6339, 62jca 532 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
64 issh2 25899 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  <->  ( (
( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A
) )  /\  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A ) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
6512, 63, 64sylanbrc 664 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493    + caddc 9496    x. cmul 9498   ~Hchil 25609    +h cva 25610    .h csm 25611    .ih csp 25612   0hc0v 25614   SHcsh 25618   _|_cort 25620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hv0cl 25693  ax-hfvmul 25695  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his2 25773  ax-his3 25774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-sh 25897  df-oc 25943
This theorem is referenced by:  shocsh  25975  ocss  25976  occl  25995  spanssoc  26040  ssjo  26138  chscllem2  26329
  Copyright terms: Public domain W3C validator