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Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocsh | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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ocsh |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ocval 26933 |
. . . 4
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2 | ssrab2 3514 |
. . . 4
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3 | 1, 2 | syl6eqss 3482 |
. . 3
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4 | ssel 3426 |
. . . . . . 7
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5 | hi01 26749 |
. . . . . . 7
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6 | 4, 5 | syl6 34 |
. . . . . 6
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7 | 6 | ralrimiv 2800 |
. . . . 5
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8 | ax-hv0cl 26656 |
. . . . 5
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9 | 7, 8 | jctil 540 |
. . . 4
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10 | ocel 26934 |
. . . 4
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11 | 9, 10 | mpbird 236 |
. . 3
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12 | 3, 11 | jca 535 |
. 2
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13 | ssel2 3427 |
. . . . . . . . . 10
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14 | ax-his2 26736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 14 | 3expa 1208 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | oveq12 6299 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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17 | 00id 9808 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | 16, 17 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 15, 18 | sylan9eq 2505 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 19 | ex 436 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 20 | ancoms 455 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 13, 21 | sylan 474 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | an32s 813 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | ralimdva 2796 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | imdistanda 699 |
. . . . . 6
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26 | hvaddcl 26665 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | anim1i 572 |
. . . . . 6
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28 | 25, 27 | syl6 34 |
. . . . 5
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29 | ocel 26934 |
. . . . . . 7
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30 | ocel 26934 |
. . . . . . 7
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31 | 29, 30 | anbi12d 717 |
. . . . . 6
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32 | an4 833 |
. . . . . . 7
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33 | r19.26 2917 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | anbi2i 700 |
. . . . . . 7
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35 | 32, 34 | bitr4i 256 |
. . . . . 6
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36 | 31, 35 | syl6bb 265 |
. . . . 5
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37 | ocel 26934 |
. . . . 5
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38 | 28, 36, 37 | 3imtr4d 272 |
. . . 4
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39 | 38 | ralrimivv 2808 |
. . 3
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40 | mul01 9812 |
. . . . . . . . . . . . 13
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41 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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42 | 41 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 40, 42 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 43 | ad2antrl 734 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | ax-his3 26737 |
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46 | 45 | eqeq1d 2453 |
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47 | 46 | 3expa 1208 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 47 | ancoms 455 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 44, 48 | sylibrd 238 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 13, 49 | sylan 474 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | an32s 813 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | ralimdva 2796 |
. . . . . . 7
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53 | 52 | imdistanda 699 |
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54 | hvmulcl 26666 |
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55 | 54 | anim1i 572 |
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56 | 53, 55 | syl6 34 |
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57 | 30 | anbi2d 710 |
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58 | anass 655 |
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59 | 57, 58 | syl6bbr 267 |
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60 | ocel 26934 |
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61 | 56, 59, 60 | 3imtr4d 272 |
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62 | 61 | ralrimivv 2808 |
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63 | 39, 62 | jca 535 |
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64 | issh2 26862 |
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65 | 12, 63, 64 | sylanbrc 670 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-hilex 26652 ax-hfvadd 26653 ax-hv0cl 26656 ax-hfvmul 26658 ax-hvmul0 26663 ax-hfi 26732 ax-his2 26736 ax-his3 26737 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-ov 6293 df-er 7363 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-ltxr 9680 df-sh 26860 df-oc 26905 |
This theorem is referenced by: shocsh 26937 ocss 26938 occl 26957 spanssoc 27002 ssjo 27100 chscllem2 27291 |
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