HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococss Structured version   Unicode version

Theorem ococss 25887
Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococss  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )

Proof of Theorem ococss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3498 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
2 ocorth 25885 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( y  .ih  x
)  =  0 ) )
32expd 436 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  A )  ->  (
y  .ih  x )  =  0 ) ) )
43ralrimdv 2880 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) ( y  .ih  x )  =  0 ) )
51, 4jcad 533 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
y  e.  ~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y 
.ih  x )  =  0 ) ) )
6 ocss 25879 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
7 ocel 25875 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
95, 8sylibrd 234 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
109ssrdv 3510 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   ~Hchil 25512    .ih csp 25515   _|_cort 25523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hv0cl 25596  ax-hfvmul 25598  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sh 25800  df-oc 25846
This theorem is referenced by:  shococss  25888  occon3  25891  hsupunss  25937  spanssoc  25943  shunssji  25963  ococin  26002  sshhococi  26140  h1did  26145  spansnpji  26172  pjoccoi  26773
  Copyright terms: Public domain W3C validator