HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococss Structured version   Unicode version

Theorem ococss 26638
Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococss  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )

Proof of Theorem ococss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3438 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
2 ocorth 26636 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( y  .ih  x
)  =  0 ) )
32expd 436 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  A )  ->  (
y  .ih  x )  =  0 ) ) )
43ralrimdv 2822 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) ( y  .ih  x )  =  0 ) )
51, 4jcad 533 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
y  e.  ~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y 
.ih  x )  =  0 ) ) )
6 ocss 26630 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
7 ocel 26626 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
95, 8sylibrd 236 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
109ssrdv 3450 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756    C_ wss 3416   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   ~Hchil 26263    .ih csp 26266   _|_cort 26274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hv0cl 26347  ax-hfvmul 26349  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his2 26427  ax-his3 26428
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sh 26551  df-oc 26597
This theorem is referenced by:  shococss  26639  occon3  26642  hsupunss  26688  spanssoc  26694  shunssji  26714  ococin  26753  sshhococi  26891  h1did  26896  spansnpji  26923  pjoccoi  27523
  Copyright terms: Public domain W3C validator