HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococin Structured version   Unicode version

Theorem ococin 24990
Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococin  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ococin
StepHypRef Expression
1 helch 24825 . . . . . . . . 9  |-  ~H  e.  CH
21jctl 541 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ~H  e.  CH  /\  A  C_ 
~H ) )
3 sseq2 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
43elrab 3224 . . . . . . . 8  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  <->  ( ~H  e.  CH 
/\  A  C_  ~H ) )
52, 4sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ~H  e.  { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
6 intss1 4254 . . . . . . 7  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
8 ocss 24867 . . . . . 6  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H )
10 ocss 24867 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
119, 10jca 532 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
)
12 ssintub 4257 . . . . 5  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }
13 occon 24869 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
147, 13mpdan 668 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
1512, 14mpi 17 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) )
16 occon 24869 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) ) )
1711, 15, 16sylc 60 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) )
18 ssrab2 3548 . . . . 5  |-  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  CH
193rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
201, 19mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x
)
21 rabn0 3768 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
23 chintcl 24914 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_ 
CH  /\  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
2418, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
25 ococ 24988 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH 
->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  = 
|^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }
)
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
2717, 26sseqtrd 3503 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
28 occl 24886 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
2910, 28syl 16 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
30 ococss 24875 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
31 sseq2 3489 . . . . 5  |-  ( x  =  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
3231elrab 3224 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  <->  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
3329, 30, 32sylanbrc 664 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  {
x  e.  CH  |  A  C_  x } )
34 intss1 4254 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3627, 35eqssd 3484 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3439   (/)c0 3748   |^|cint 4239   ` cfv 5529   ~Hchil 24500   CHcch 24510   _|_cort 24511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cc 8719  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477  ax-hilex 24580  ax-hfvadd 24581  ax-hvcom 24582  ax-hvass 24583  ax-hv0cl 24584  ax-hvaddid 24585  ax-hfvmul 24586  ax-hvmulid 24587  ax-hvmulass 24588  ax-hvdistr1 24589  ax-hvdistr2 24590  ax-hvmul0 24591  ax-hfi 24660  ax-his1 24663  ax-his2 24664  ax-his3 24665  ax-his4 24666  ax-hcompl 24783
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-acn 8227  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-lm 18975  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-cfil 20908  df-cau 20909  df-cmet 20910  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-gdiv 23860  df-ablo 23948  df-subgo 23968  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-vs 24156  df-nmcv 24157  df-ims 24158  df-dip 24275  df-ssp 24299  df-ph 24392  df-cbn 24443  df-hnorm 24549  df-hba 24550  df-hvsub 24552  df-hlim 24553  df-hcau 24554  df-sh 24788  df-ch 24803  df-oc 24834  df-ch0 24835
This theorem is referenced by:  hsupval2  24991  sshjval2  24993
  Copyright terms: Public domain W3C validator