HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococin Structured version   Unicode version

Theorem ococin 26149
Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococin  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ococin
StepHypRef Expression
1 helch 25984 . . . . . . . . 9  |-  ~H  e.  CH
21jctl 541 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ~H  e.  CH  /\  A  C_ 
~H ) )
3 sseq2 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
43elrab 3266 . . . . . . . 8  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  <->  ( ~H  e.  CH 
/\  A  C_  ~H ) )
52, 4sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ~H  e.  { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
6 intss1 4303 . . . . . . 7  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
8 ocss 26026 . . . . . 6  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H )
10 ocss 26026 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
119, 10jca 532 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
)
12 ssintub 4306 . . . . 5  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }
13 occon 26028 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
147, 13mpdan 668 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
1512, 14mpi 17 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) )
16 occon 26028 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) ) )
1711, 15, 16sylc 60 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) )
18 ssrab2 3590 . . . . 5  |-  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  CH
193rspcev 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
201, 19mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x
)
21 rabn0 3810 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
23 chintcl 26073 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_ 
CH  /\  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
2418, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
25 ococ 26147 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH 
->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  = 
|^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }
)
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
2717, 26sseqtrd 3545 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
28 occl 26045 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
2910, 28syl 16 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
30 ococss 26034 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
31 sseq2 3531 . . . . 5  |-  ( x  =  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
3231elrab 3266 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  <->  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
3329, 30, 32sylanbrc 664 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  {
x  e.  CH  |  A  C_  x } )
34 intss1 4303 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3627, 35eqssd 3526 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   (/)c0 3790   |^|cint 4288   ` cfv 5594   ~Hchil 25659   CHcch 25669   _|_cort 25670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825  ax-hcompl 25942
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-subgo 25127  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-dip 25434  df-ssp 25458  df-ph 25551  df-cbn 25602  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-hcau 25713  df-sh 25947  df-ch 25962  df-oc 25993  df-ch0 25994
This theorem is referenced by:  hsupval2  26150  sshjval2  26152
  Copyright terms: Public domain W3C validator