HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococ Structured version   Unicode version

Theorem ococ 26724
Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococ  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem ococ
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  A )  =  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
21fveq2d 5852 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) ) ) )
3 id 22 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  A  =  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) )
42, 3eqeq12d 2424 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  =  A  <->  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
5 ifchhv 26562 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
65ococi 26723 . 2  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
74, 6dedth 3935 1  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3884   ` cfv 5568   ~Hchil 26236   CHcch 26246   _|_cort 26247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lm 20021  df-haus 20107  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-cfil 21984  df-cau 21985  df-cmet 21986  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-subgo 25704  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-ssp 26035  df-ph 26128  df-cbn 26179  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570  df-ch0 26571
This theorem is referenced by:  dfch2  26725  ococin  26726  shlub  26732  pjhtheu2  26734  shjshseli  26811  chsscon1  26819  chpsscon1  26822  chpsscon2  26823  chdmm2  26844  chdmm3  26845  chdmm4  26846  chdmj1  26847  chdmj2  26848  chdmj3  26849  chdmj4  26850  fh2  26937  hstle  27548  hstoh  27550  mddmd  27619
  Copyright terms: Public domain W3C validator