HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Structured version   Unicode version

Theorem ocnel 26949
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H ) )  <->  ( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H
) ) )
2 ocin 26947 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
32eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  0H ) )
43biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  ->  A  e.  0H ) )
51, 4syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  ->  A  e.  0H ) )
65expcomd 439 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( _|_ `  H )  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) ) )
76imp 430 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) )
8 elch0 26905 . . . 4  |-  ( A  e.  0H  <->  A  =  0h )
97, 8syl6ib 229 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  =  0h )
)
109necon3ad 2630 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  =/=  0h  ->  -.  A  e.  H
) )
11103impia 1202 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    i^i cin 3435   ` cfv 5601   0hc0v 26575   SHcsh 26579   _|_cort 26581   0Hc0h 26586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hv0cl 26654  ax-hfvmul 26656  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687  df-sh 26858  df-oc 26903  df-ch0 26904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator