HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occon2i Structured version   Unicode version

Theorem occon2i 24837
Description: Double contraposition for orthogonal complement. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
occon2.1  |-  A  C_  ~H
occon2.2  |-  B  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
occon2i  |-  ( A 
C_  B  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem occon2i
StepHypRef Expression
1 occon2.1 . 2  |-  A  C_  ~H
2 occon2.2 . 2  |-  B  C_  ~H
3 occon2 24836 . 2  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  C_  B  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) ) )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3429   ` cfv 5519   ~Hchil 24466   _|_cort 24477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hv0cl 24550  ax-hfvmul 24552  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his2 24630  ax-his3 24631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sh 24754  df-oc 24800
This theorem is referenced by:  shjshsi  25040  sshhococi  25094  h1datomi  25129
  Copyright terms: Public domain W3C validator