Theorem occllem1 9256

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
occllem1.1	|- A e. H~
occllem1.2	|- B e. H~
occllem1.3	|- S e. H~

Assertion

Ref	Expression
occllem1	|- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))

Proof of Theorem occllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		occllem1.2	. . . . . 6 |- B e. H~
2		ax1cn 5334	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
3	2	negcli 5434	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
4		occllem1.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
5	3, 4	hvmulcli 8967	. . . . . 6 |- (-u1 .h A) e. H~
6		occllem1.3	. . . . . 6 |- S e. H~
7		ax-his2 9033	. . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ (-u1 .h A) e. H~ /\ S e. H~) -> ((B +h (-u1 .h A)) .ih S) = ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S)))
8	1, 5, 6, 7	mp3an 928	. . . . 5 |- ((B +h (-u1 .h A)) .ih S) = ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S))
9		ax-his3 9034	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ A e. H~ /\ S e. H~) -> ((-u1 .h A) .ih S) = (-u1 x. (A .ih S)))
10	3, 4, 6, 9	mp3an 928	. . . . . 6 |- ((-u1 .h A) .ih S) = (-u1 x. (A .ih S))
11	10	opreq2i 4030	. . . . 5 |- ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S)) = ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S)))
12	8, 11	eqtr2i 1543	. . . 4 |- ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S))) = ((B +h (-u1 .h A)) .ih S)
13	4, 6	hicli 9031	. . . . . . 7 |- (A .ih S) e. CC
14	13	mulm1i 5537	. . . . . 6 |- (-u1 x. (A .ih S)) = -u(A .ih S)
15	14	opreq2i 4030	. . . . 5 |- ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S))) = ((B .ih S) + -u(A .ih S))
16	1, 6	hicli 9031	. . . . . 6 |- (B .ih S) e. CC
17	16, 13	negsubi 5446	. . . . 5 |- ((B .ih S) + -u(A .ih S)) = ((B .ih S) - (A .ih S))
18	15, 17	eqtr2i 1543	. . . 4 |- ((B .ih S) - (A .ih S)) = ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S)))
19	1, 4	hvsubvali 8973	. . . . 5 |- (B -h A) = (B +h (-u1 .h A))
20	19	opreq1i 4029	. . . 4 |- ((B -h A) .ih S) = ((B +h (-u1 .h A)) .ih S)
21	12, 18, 20	3eqtr4i 1552	. . 3 |- ((B .ih S) - (A .ih S)) = ((B -h A) .ih S)
22	21	fveq2i 3784	. 2 |- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) = (abs` ((B -h A) .ih S))
23	1, 4	hvsubcli 8974	. . 3 |- (B -h A) e. H~
24	23, 6	bcsiHIL 9130	. 2 |- (abs` ((B -h A) .ih S)) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))
25	22, 24	eqbrtri 2689	1 |- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999   class class class wbr 2674  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  1c1 5300   + caddc 5302   x. cmul 5304   - cmin 5357  -ucneg 5358   <_ cle 5360  abscabs 6840  H~chil 8871   +h cva 8872   .h csm 8873   -h cmv 8875   .ih csp 8876  normhcno 8877

This theorem is referenced by:  occllem2 9257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806  ax-hilex 8952  ax-hfvadd 8953  ax-hvcom 8954  ax-hvass 8955  ax-hv0cl 8956  ax-hvaddid 8957  ax-hfvmul 8958  ax-hvmulid 8959  ax-hvmulass 8960  ax-hvdistr1 8961  ax-hvdistr2 8962  ax-hvmul0 8963  ax-hfi 9029  ax-his1 9032  ax-his2 9033  ax-his3 9034  ax-his4 9035

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-clim 7065  df-sum 7070  df-top 7684  df-bases 7686  df-topgen 7687  df-cld 7748  df-ntr 7749  df-cls 7750  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-haus 7867  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-lm 8007  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304  df-ip 8434  df-ph 8556  df-hnorm 8920  df-hvsub 8923

Copyright terms: Public domain