HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Structured version   Unicode version

Theorem occl 24852
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )

Proof of Theorem occl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocsh 24831 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2 ax-hcompl 24749 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
3 vex 3074 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
4 vex 3074 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
53, 4breldm 5145 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
65rexlimivw 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
72, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  f  e.  dom  ~~>v  )
87ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  e.  dom  ~~>v  )
9 hlimf 24785 . . . . . . . 8  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
109ffvelrni 5944 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H )
118, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ~H )
12 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  A  C_ 
~H )
13 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f  e.  Cauchy )
14 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : NN --> ( _|_ `  A
) )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1612, 13, 14, 15occllem 24851 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
(  ~~>v  `  f )  .ih  x )  =  0 )
1716ralrimiva 2825 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 )
18 ocel 24829 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( 
~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( (  ~~>v  `  f )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 ) ) )
1918ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
( (  ~~>v  `  f
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H  /\  A. x  e.  A  ( (  ~~>v 
`  f )  .ih  x )  =  0 ) ) )
2011, 17, 19mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
) )
21 ffun 5662 . . . . . . 7  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  Fun  ~~>v  )
22 funfvbrb 5918 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f )
) )
239, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )
248, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  ~~>v  (  ~~>v  `  f
) )
25 breq2 4397 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  ~~>v  `  f
)  ->  ( f  ~~>v  x  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f ) ) )
2625rspcev 3172 . . . . 5  |-  ( ( (  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f  ~~>v  x )
2720, 24, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f 
~~>v  x )
2827ex 434 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  ->  (
f : NN --> ( _|_ `  A )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
2928ralrimiva 2825 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
30 isch3 24789 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  CH  <->  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) ) )
311, 29, 30sylanbrc 664 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   Fun wfun 5513   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   NNcn 10426   ~Hchil 24466    .ih csp 24469   Cauchyccau 24473    ~~>v chli 24474   SHcsh 24475   CHcch 24476   _|_cort 24477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his1 24629  ax-his2 24630  ax-his3 24631  ax-his4 24632  ax-hcompl 24749
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-lm 18958  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cau 20892  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123  df-ims 24124  df-dip 24241  df-hnorm 24515  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-hcau 24520  df-sh 24754  df-ch 24769  df-oc 24800
This theorem is referenced by:  shoccl  24853  hsupcl  24887  sshjcl  24903  dfch2  24955  ococin  24956  shjshsi  25040  sshhococi  25094  h1dei  25098  h1de2bi  25102  h1de2ctlem  25103  h1de2ci  25104  spansnch  25108  spansnpji  25126  h1da  25898  atom1d  25902
  Copyright terms: Public domain W3C validator