HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Structured version   Unicode version

Theorem occl 26622
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )

Proof of Theorem occl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocsh 26601 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2 ax-hcompl 26519 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
3 vex 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
4 vex 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
53, 4breldm 5027 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
65rexlimivw 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  f  e.  dom  ~~>v  )
87ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  e.  dom  ~~>v  )
9 hlimf 26555 . . . . . . . 8  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
109ffvelrni 6007 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H )
118, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ~H )
12 simplll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  A  C_ 
~H )
13 simpllr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f  e.  Cauchy )
14 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : NN --> ( _|_ `  A
) )
15 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1612, 13, 14, 15occllem 26621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
(  ~~>v  `  f )  .ih  x )  =  0 )
1716ralrimiva 2817 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 )
18 ocel 26599 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( 
~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( (  ~~>v  `  f )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 ) ) )
1918ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
( (  ~~>v  `  f
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H  /\  A. x  e.  A  ( (  ~~>v 
`  f )  .ih  x )  =  0 ) ) )
2011, 17, 19mpbir2and 923 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
) )
21 ffun 5715 . . . . . . 7  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  Fun  ~~>v  )
22 funfvbrb 5977 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f )
) )
239, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )
248, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  ~~>v  (  ~~>v  `  f
) )
25 breq2 4398 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  ~~>v  `  f
)  ->  ( f  ~~>v  x  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f ) ) )
2625rspcev 3159 . . . . 5  |-  ( ( (  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f  ~~>v  x )
2720, 24, 26syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f 
~~>v  x )
2827ex 432 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  ->  (
f : NN --> ( _|_ `  A )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
2928ralrimiva 2817 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
30 isch3 26559 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  CH  <->  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) ) )
311, 29, 30sylanbrc 662 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4822   Fun wfun 5562   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   NNcn 10575   ~Hchil 26236    .ih csp 26239   Cauchyccau 26243    ~~>v chli 26244   SHcsh 26245   CHcch 26246   _|_cort 26247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-lm 20021  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cau 21985  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-dip 26011  df-hnorm 26285  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570
This theorem is referenced by:  shoccl  26623  hsupcl  26657  sshjcl  26673  dfch2  26725  ococin  26726  shjshsi  26810  sshhococi  26864  h1dei  26868  h1de2bi  26872  h1de2ctlem  26873  h1de2ci  26874  spansnch  26878  spansnpji  26896  h1da  27667  atom1d  27671
  Copyright terms: Public domain W3C validator