HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Structured version   Unicode version

Theorem occl 25898
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )

Proof of Theorem occl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocsh 25877 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2 ax-hcompl 25795 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
3 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
4 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
53, 4breldm 5205 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
65rexlimivw 2952 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
72, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  f  e.  dom  ~~>v  )
87ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  e.  dom  ~~>v  )
9 hlimf 25831 . . . . . . . 8  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
109ffvelrni 6018 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H )
118, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ~H )
12 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  A  C_ 
~H )
13 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f  e.  Cauchy )
14 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : NN --> ( _|_ `  A
) )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1612, 13, 14, 15occllem 25897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
(  ~~>v  `  f )  .ih  x )  =  0 )
1716ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 )
18 ocel 25875 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( 
~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( (  ~~>v  `  f )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 ) ) )
1918ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
( (  ~~>v  `  f
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H  /\  A. x  e.  A  ( (  ~~>v 
`  f )  .ih  x )  =  0 ) ) )
2011, 17, 19mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
) )
21 ffun 5731 . . . . . . 7  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  Fun  ~~>v  )
22 funfvbrb 5992 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f )
) )
239, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )
248, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  ~~>v  (  ~~>v  `  f
) )
25 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  ~~>v  `  f
)  ->  ( f  ~~>v  x  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f ) ) )
2625rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( (  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f  ~~>v  x )
2720, 24, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f 
~~>v  x )
2827ex 434 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  ->  (
f : NN --> ( _|_ `  A )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
2928ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
30 isch3 25835 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  CH  <->  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) ) )
311, 29, 30sylanbrc 664 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   NNcn 10532   ~Hchil 25512    .ih csp 25515   Cauchyccau 25519    ~~>v chli 25520   SHcsh 25521   CHcch 25522   _|_cort 25523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678  ax-hcompl 25795
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-lm 19496  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cau 21430  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-dip 25287  df-hnorm 25561  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-hcau 25566  df-sh 25800  df-ch 25815  df-oc 25846
This theorem is referenced by:  shoccl  25899  hsupcl  25933  sshjcl  25949  dfch2  26001  ococin  26002  shjshsi  26086  sshhococi  26140  h1dei  26144  h1de2bi  26148  h1de2ctlem  26149  h1de2ci  26150  spansnch  26154  spansnpji  26172  h1da  26944  atom1d  26948
  Copyright terms: Public domain W3C validator