MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsrcl Structured version   Unicode version

Theorem obsrcl 19050
Description: Reverse closure for an orthonormal basis. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
obsrcl  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )

Proof of Theorem obsrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2402 . . 3  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
7 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isobs 19047 . 2  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  <->  ( W  e. 
PreHil  /\  B  C_  ( Base `  W )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( .i
`  W ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ,  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( ( ocv `  W ) `  B
)  =  { ( 0g `  W ) } ) ) )
98simp1bi 1012 1  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   ifcif 3884   {csn 3971   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   .icip 14912   0gc0g 15052   1rcur 17471   PreHilcphl 18955   ocvcocv 18987  OBasiscobs 19029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-ov 6280  df-obs 19032
This theorem is referenced by:  obsne0  19052  obs2ocv  19054  obselocv  19055  obslbs  19057
  Copyright terms: Public domain W3C validator