MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsne0 Structured version   Unicode version

Theorem obsne0 18155
Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obsocv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
obsne0  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )

Proof of Theorem obsne0
StepHypRef Expression
1 obsrcl 18153 . . . . 5  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
2 phllvec 18063 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 17191 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
51, 2, 43syl 20 . . . 4  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  e.  DivRing )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
97, 8drngunz 16852 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
1211, 3, 8obsipid 18152 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( A ( .i `  W ) A )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
1312eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
141adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  W  e.  PreHil )
15 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1615obsss 18154 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  B  C_  ( Base `  W ) )
1716sselda 3361 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
18 obsocv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
193, 11, 15, 7, 18ipeq0 18072 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2014, 17, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2113, 20bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =  .0.  ) )
2221necon3bid 2648 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =/=  .0.  ) )
2310, 22mpbid 210 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   .icip 14248   0gc0g 14383   1rcur 16608   DivRingcdr 16837   LVecclvec 17188   PreHilcphl 18058  OBasiscobs 18132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-ghm 15750  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lmhm 17108  df-lvec 17189  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-phl 18060  df-obs 18135
This theorem is referenced by:  obselocv  18158  obs2ss  18159  obslbs  18160
  Copyright terms: Public domain W3C validator