MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsne0 Structured version   Unicode version

Theorem obsne0 18626
Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obsocv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
obsne0  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )

Proof of Theorem obsne0
StepHypRef Expression
1 obsrcl 18624 . . . . 5  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
2 phllvec 18534 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 17622 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
51, 2, 43syl 20 . . . 4  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  e.  DivRing )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
7 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
97, 8drngunz 17282 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
11 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
1211, 3, 8obsipid 18623 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( A ( .i `  W ) A )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
1312eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
141adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  W  e.  PreHil )
15 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1615obsss 18625 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  B  C_  ( Base `  W ) )
1716sselda 3487 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
18 obsocv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
193, 11, 15, 7, 18ipeq0 18543 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2014, 17, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2113, 20bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =  .0.  ) )
2221necon3bid 2699 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =/=  .0.  ) )
2310, 22mpbid 210 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Basecbs 14506  Scalarcsca 14574   .icip 14576   0gc0g 14711   1rcur 17024   DivRingcdr 17267   LVecclvec 17619   PreHilcphl 18529  OBasiscobs 18603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-ghm 16136  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-oppr 17143  df-dvdsr 17161  df-unit 17162  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lmhm 17539  df-lvec 17620  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-phl 18531  df-obs 18606
This theorem is referenced by:  obselocv  18629  obs2ss  18630  obslbs  18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator