MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsne0 Structured version   Unicode version

Theorem obsne0 18551
Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obsocv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
obsne0  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )

Proof of Theorem obsne0
StepHypRef Expression
1 obsrcl 18549 . . . . 5  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
2 phllvec 18459 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 17551 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
51, 2, 43syl 20 . . . 4  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  e.  DivRing )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
97, 8drngunz 17211 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
11 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
1211, 3, 8obsipid 18548 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( A ( .i `  W ) A )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
1312eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
141adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  W  e.  PreHil )
15 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1615obsss 18550 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  B  C_  ( Base `  W ) )
1716sselda 3504 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
18 obsocv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
193, 11, 15, 7, 18ipeq0 18468 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2014, 17, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2113, 20bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =  .0.  ) )
2221necon3bid 2725 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =/=  .0.  ) )
2310, 22mpbid 210 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   .icip 14560   0gc0g 14695   1rcur 16955   DivRingcdr 17196   LVecclvec 17548   PreHilcphl 18454  OBasiscobs 18528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-ghm 16070  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lmhm 17468  df-lvec 17549  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-phl 18456  df-obs 18531
This theorem is referenced by:  obselocv  18554  obs2ss  18555  obslbs  18556
  Copyright terms: Public domain W3C validator