Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obslbs Structured version   Unicode version

Theorem obslbs 19224
 Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
obslbs.j LBasis
obslbs.n
obslbs.c
Assertion
Ref Expression
obslbs OBasis

Proof of Theorem obslbs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 obsrcl 19217 . . . . . 6 OBasis
2 eqid 2429 . . . . . . 7
32obsss 19218 . . . . . 6 OBasis
4 eqid 2429 . . . . . . 7
5 obslbs.n . . . . . . 7
62, 4, 5ocvlsp 19170 . . . . . 6
71, 3, 6syl2anc 665 . . . . 5 OBasis
87fveq2d 5885 . . . 4 OBasis
94, 2obs2ocv 19221 . . . 4 OBasis
108, 9eqtrd 2470 . . 3 OBasis
1110eqeq2d 2443 . 2 OBasis
12 obslbs.c . . . 4
134, 12iscss 19177 . . 3
141, 13syl 17 . 2 OBasis
15 phllvec 19127 . . . 4
161, 15syl 17 . . 3 OBasis
17 pssnel 3866 . . . . . . 7
1817adantl 467 . . . . . 6 OBasis
19 simpll 758 . . . . . . . . . . 11 OBasis OBasis
20 pssss 3566 . . . . . . . . . . . 12
2120ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11 OBasis
22 simpr 462 . . . . . . . . . . 11 OBasis
234obselocv 19222 . . . . . . . . . . 11 OBasis
2419, 21, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10 OBasis
25 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14
2625obsne0 19219 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
2719, 22, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
28 elsni 4027 . . . . . . . . . . . . 13
2928necon3ai 2659 . . . . . . . . . . . 12
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 OBasis
31 nelne1 2760 . . . . . . . . . . . 12
3231expcom 436 . . . . . . . . . . 11
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 OBasis
3424, 33sylbird 238 . . . . . . . . 9 OBasis
35 npss 3581 . . . . . . . . . . 11
36 phllmod 19128 . . . . . . . . . . . . . . 15
371, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
3837ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
393ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
4021, 39sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
412, 5lspssv 18141 . . . . . . . . . . . . 13
4238, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
43 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13
441ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 OBasis
452, 4, 5ocvlsp 19170 . . . . . . . . . . . . . . 15
4644, 40, 45syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
472, 4, 25ocv1 19173 . . . . . . . . . . . . . . 15
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
4946, 48eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
5043, 49syl5ib 222 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
5142, 50embantd 56 . . . . . . . . . . 11 OBasis
5235, 51syl5bi 220 . . . . . . . . . 10 OBasis
5352necon1ad 2647 . . . . . . . . 9 OBasis
5434, 53syld 45 . . . . . . . 8 OBasis
5554expimpd 606 . . . . . . 7 OBasis
5655exlimdv 1771 . . . . . 6 OBasis
5718, 56mpd 15 . . . . 5 OBasis
5857ex 435 . . . 4 OBasis
5958alrimiv 1766 . . 3 OBasis
60 obslbs.j . . . . . 6 LBasis
612, 60, 5islbs3 18313 . . . . 5
62 3anan32 994 . . . . 5
6361, 62syl6bb 264 . . . 4
6463baibd 917 . . 3
6516, 3, 59, 64syl12anc 1262 . 2 OBasis
6611, 14, 653bitr4rd 289 1 OBasis
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982  wal 1435   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870   wne 2625   wss 3442   wpss 3443  csn 4002  cfv 5601  cbs 15084  c0g 15297  clmod 18026  clspn 18129  LBasisclbs 18232  clvec 18260  cphl 19122  cocv 19154  ccss 19155  OBasiscobs 19196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-ghm 16832  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-staf 18008  df-srng 18009  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lmhm 18180  df-lbs 18233  df-lvec 18261  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-phl 19124  df-ocv 19157  df-css 19158  df-obs 19199 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator