MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obs2ss Structured version   Unicode version

Theorem obs2ss 18886
Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
obs2ss  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  =  B )

Proof of Theorem obs2ss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  C_  B
)
2 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
32obsne0 18882 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  x  e.  B )  ->  x  =/=  ( 0g `  W
) )
433ad2antl1 1158 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =/=  ( 0g `  W ) )
5 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
65obselocv 18885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  ( ( ocv `  W ) `
 C )  <->  -.  x  e.  C ) )
763expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  ( ( ocv `  W ) `
 C )  <->  -.  x  e.  C ) )
873adantl2 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  <->  -.  x  e.  C ) )
9 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  (OBasis `  W ) )
102, 5obsocv 18883 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  (OBasis `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  C )  =  {
( 0g `  W
) } )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  C )  =  {
( 0g `  W
) } )
1211eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  <->  x  e.  { ( 0g
`  W ) } ) )
13 elsni 4057 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  W ) }  ->  x  =  ( 0g `  W ) )
1412, 13syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  ->  x  =  ( 0g
`  W ) ) )
158, 14sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  C  ->  x  =  ( 0g `  W ) ) )
1615necon1ad 2673 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  W
)  ->  x  e.  C ) )
174, 16mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  C )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )
1918ssrdv 3505 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  B  C_  C
)
201, 19eqssd 3516 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594   0gc0g 14856   ocvcocv 18817  OBasiscobs 18859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-ghm 16391  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-staf 17620  df-srng 17621  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lmhm 17794  df-lvec 17875  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-phl 18787  df-ocv 18820  df-obs 18862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator