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Theorem oawordri 7211
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oawordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3538 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
4 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
5 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
64, 5sseq12d 3538 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
7 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
8 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3538 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
10 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
11 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1210, 11sseq12d 3538 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
13 oa0 7178 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
15 oa0 7178 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1714, 16sseq12d 3538 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
1817biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) )
19 oacl 7197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  y
)  e.  On )
20 eloni 4894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
22 oacl 7197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
23 eloni 4894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
25 ordsucsssuc 6653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2621, 24, 25syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2726anandirs 829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
28 oasuc 7186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
2928adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
30 oasuc 7186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3229, 31sseq12d 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
3327, 32bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
3534expcom 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
3635adantrd 468 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
37 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
38 ss2iun 4347 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
39 oalim 7194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
4039adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
41 oalim 7194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4241adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4340, 42sseq12d 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )
4537, 44mpanr1 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  -> 
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )
4645expcom 435 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) ) )
4746adantrd 468 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) ) )
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 6694 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
4948exp4c 608 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
5049com3l 81 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
51503imp 1190 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4331   Ord word 4883   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   suc csuc 4886  (class class class)co 6295    +o coa 7139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146
This theorem is referenced by:  oaword2  7214  omwordri  7233  oaabs2  7306
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