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Theorem oawordri 7117
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oawordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3446 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
4 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
5 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
64, 5sseq12d 3446 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
7 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
8 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3446 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
10 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
11 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1210, 11sseq12d 3446 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
13 oa0 7084 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
15 oa0 7084 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1615adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1714, 16sseq12d 3446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
1817biimpar 483 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) )
19 oacl 7103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  y
)  e.  On )
20 eloni 4802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
22 oacl 7103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
23 eloni 4802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
25 ordsucsssuc 6557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2621, 24, 25syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2726anandirs 829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
28 oasuc 7092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
2928adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
30 oasuc 7092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3130adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3229, 31sseq12d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
3327, 32bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
3534expcom 433 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
3635adantrd 466 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
37 vex 3037 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
38 ss2iun 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
39 oalim 7100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
4039adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
41 oalim 7100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4241adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4340, 42sseq12d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )
4537, 44mpanr1 681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  -> 
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )
4645expcom 433 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) ) )
4746adantrd 466 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) ) )
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 6598 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
4948exp4c 606 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
5049com3l 81 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
51503imp 1188 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U_ciun 4243   Ord word 4791   Oncon0 4792   Lim wlim 4793   suc csuc 4794  (class class class)co 6196    +o coa 7045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-oadd 7052
This theorem is referenced by:  oaword2  7120  omwordri  7139  oaabs2  7212
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