Theorem oaword2 5235

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Theorem 21 of [Suppes] p. 209.

Assertion

Ref	Expression
oaword2	|- ((A e. On /\ B e. On) -> A C_ (B +o A))

Proof of Theorem oaword2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2900	. . 3 |- (/) C_ B
2		0elon 3716	. . . . 5 |- (/) e. On
3		oawordri 5232	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ B e. On /\ A e. On) -> ((/) C_ B -> ((/) +o A) C_ (B +o A)))
4	2, 3	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) C_ B -> ((/) +o A) C_ (B +o A)))
5		oa0r 5220	. . . . . 6 |- (A e. On -> ((/) +o A) = A)
6	5	adantl 424	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) +o A) = A)
7	6	sseq1d 2644	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (((/) +o A) C_ (B +o A) <-> A C_ (B +o A)))
8	4, 7	sylibd 219	. . 3 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) C_ B -> A C_ (B +o A)))
9	1, 8	mpi 55	. 2 |- ((B e. On /\ A e. On) -> A C_ (B +o A))
10	9	ancoms 484	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> A C_ (B +o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   +o coa 5174

This theorem is referenced by:  oawordeulem 5236  nnarcl 5287  oaabslem 5308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179

Copyright terms: Public domain