Theorem oav 4208

Description: Value of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem oav

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3789	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B) e. V
2		rdgeq2 3993	. . 3 |- (w = A -> rec({<.x, y>. | y = suc x}, w) = rec({<.x, y>. | y = suc x}, A))
3	2	fveq1d 3783	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v))
4		fveq2 3781	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
5		df-oadd 4193	. 2 |- +o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v))}
6	1, 3, 4, 5	oprabval2 4086	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  {copab 2721  Oncon0 3005  suc csuc 3007  ` cfv 3239  reccrdg 3989  (class class class)co 4021   +o coa 4188

This theorem is referenced by:  oa0 4213  oasuc 4221  oalim 4225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-oadd 4193

Copyright terms: Public domain