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Theorem oarec 7263
Description: Recursive definition of ordinal addition. Exercise 25 of [Enderton] p. 240. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oarec  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem oarec
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6298 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) ) )
3 mpt0 5705 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/)
42, 3syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
54rneqd 5062 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (/) )
6 rn0 5086 . . . . . 6  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
87uneq2d 3588 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  (/) ) )
91, 8eqeq12d 2466 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) ) )  <->  ( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) ) )
10 oveq2 6298 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  w
) )
11 mpteq1 4483 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1211rneqd 5062 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1312uneq2d 3588 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1410, 13eqeq12d 2466 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
15 oveq2 6298 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  +o  suc  w ) )
16 mpteq1 4483 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1716rneqd 5062 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  w  ->  ran  ( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) )  =  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1817uneq2d 3588 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2466 . . 3  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
20 oveq2 6298 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  B
) )
21 mpteq1 4483 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
2221rneqd 5062 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
2322uneq2d 3588 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2466 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
25 oa0 7218 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 un0 3759 . . . 4  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2725, 26syl6eqr 2503 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) )
28 uneq1 3581 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  w )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
29 unass 3591 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ( ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } ) )
30 rexun 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ( w  u.  { w }
) y  =  ( A  +o  x )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
31 df-suc 5429 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  w  =  ( w  u. 
{ w } )
3231rexeqi 2992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  ( w  u.  {
w } ) y  =  ( A  +o  x ) )
33 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
34 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )
3534elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) ) )
3633, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) )
37 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
38 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
39 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  w
) )
4039eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
y  =  ( A  +o  x )  <->  y  =  ( A  +o  w
) ) )
4138, 40rexsn 4011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x )  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
4237, 41bitr4i 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <->  E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x ) )
4336, 42orbi12i 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e. 
{ ( A  +o  w ) } )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
4430, 32, 433bitr4i 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  ( y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
45 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )
46 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +o  x )  e. 
_V
4745, 46elrnmpti 5085 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  suc  w y  =  ( A  +o  x ) )
48 elun 3574 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u.  { ( A  +o  w ) } )  <->  ( y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
4944, 47, 483bitr4i 281 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ( ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
5049eqriv 2448 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x
) )  =  ( ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )
5150uneq2i 3585 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ( ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } ) )
5229, 51eqtr4i 2476 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
5328, 52syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  w )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
54 oasuc 7226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  suc  ( A  +o  w
) )
55 df-suc 5429 . . . . . . 7  |-  suc  ( A  +o  w )  =  ( ( A  +o  w )  u.  {
( A  +o  w
) } )
5654, 55syl6eq 2501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( ( A  +o  w
)  u.  { ( A  +o  w ) } ) )
5756eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (
x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  <->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5853, 57syl5ibr 225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5958expcom 437 . . 3  |-  ( w  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
60 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
61 oalim 7234 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( z  e.  _V  /\ 
Lim  z ) )  ->  ( A  +o  z )  =  U_ w  e.  z  ( A  +o  w ) )
6260, 61mpanr1 689 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  z )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6362ancoms 455 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6463adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
65 iuneq2 4295 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  ->  U_ w  e.  z 
( A  +o  w
)  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
6665adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  +o  w )  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
67 iunun 4362 . . . . . . 7  |-  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
68 0ellim 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
69 ne0i 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  z  ->  z  =/=  (/) )
70 iunconst 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
72 limuni 5483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  z  =  U. z )
7372rexeqdv 2994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  U. z y  =  ( A  +o  x
) ) )
74 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
7536, 74bitri 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
7675rexbii 2889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
77 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. w  e.  z  x  e.  w )
7877anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <-> 
( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
79 r19.41v 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  z  ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  ( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8078, 79bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8180exbii 1718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( x  e. 
U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
82 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
83 rexcom4 3067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8481, 82, 833bitr4i 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. w  e.  z  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8576, 84bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x ) )
8673, 85syl6rbbr 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x
) ) )
87 eliun 4283 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
y  e.  ran  (
x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
88 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )
8988, 46elrnmpti 5085 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z 
y  =  ( A  +o  x ) )
9086, 87, 893bitr4g 292 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ran  ( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) ) ) )
9190eqrdv 2449 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )
9271, 91uneq12d 3589 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) ) ) )
9367, 92syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) ) )
9493ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) ) ) )
9564, 66, 943eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) ) )
9695exp31 609 . . 3  |-  ( Lim  z  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
979, 14, 19, 24, 27, 59, 96tfinds3 6691 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) ) )
9897impcom 432 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   suc csuc 5425  (class class class)co 6290    +o coa 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186
This theorem is referenced by:  oacomf1o  7266  onacda  8627
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