Theorem oaordi 7246

Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaordi	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem oaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5458	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	adantll 718	. . . 4 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> A e. On )
3		eloni 5443	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> Ord B )
4		ordsucss 6650	. . . . . . . . 9 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
6	5	ad2antlr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
7		sucelon 6649	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
8		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc A -> ( C +o x ) = ( C +o suc A ) )
9	8	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc A -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
10	9	imbi2d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc A -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) )
11		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( C +o x ) = ( C +o y ) )
12	11	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) )
13	12	imbi2d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) )
14		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( C +o x ) = ( C +o suc y ) )
15	14	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
16	15	imbi2d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
17		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( C +o x ) = ( C +o B ) )
18	17	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
19	18	imbi2d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
20		ssid 3480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A )
21	20	2a1i 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. On -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
22		sssucid 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C +o y ) C_ suc ( C +o y )
23		sstr2 3468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
24	22, 23	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) )
25		oasuc 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
26	25	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
27	26	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) <-> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
28	24, 27	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
29	28	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
30	29	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
31	30	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
32		sucssel 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
33	7, 32	sylbir 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( suc A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
34		limsuc 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
35	34	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim x -> ( A e. x -> suc A e. x ) )
36	33, 35	sylan9r 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ suc A e. On ) -> ( suc A C_ x -> suc A e. x ) )
37	36	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> suc A e. x )
38		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = suc A -> ( C +o y ) = ( C +o suc A ) )
39	38	ssiun2s 4337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. x -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
41	40	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
42		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
43		oalim 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
44	42, 43	mpanr1 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
45	44	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
46	45	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
47	46	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
48	41, 47	sseqtr4d 3498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) )
49	48	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) )
50	49	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc A C_ y -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) ) )
51	10, 13, 16, 19, 21, 31, 50	tfindsg 6692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ B ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
52	51	exp31 607	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( suc A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
53	7, 52	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
54	53	com4r 89	. . . . . . . 8 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
55	54	imp31 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
56		oasuc 7225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C +o suc A ) = suc ( C +o A ) )
57	56	sseq1d 3488	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) <-> suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( C +o A ) e. _V
59		sucssel 5525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +o A ) e. _V -> ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
61	57, 60	syl6bi 231	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
62	61	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
63	6, 55, 62	3syld 57	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
64	63	imp 430	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
65	64	an32s 811	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) /\ A e. On ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
66	2, 65	mpdan 672	. . 3 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
67	66	ex 435	. 2 |- ( ( C e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
68	67	ancoms 454	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078   C_ wss 3433   U_ciun 4293   Ord word 5432   Oncon0 5433   Lim wlim 5434   suc csuc 5435  (class class class)co 6296   +o coa 7178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-oadd 7185

This theorem is referenced by:  oaord  7247  oaass  7261  odi  7279