Theorem oaordi 7213

Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaordi	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem oaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4912	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	adantll 713	. . . 4 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> A e. On )
3		eloni 4897	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> Ord B )
4		ordsucss 6652	. . . . . . . . 9 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
7		sucelon 6651	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
8		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc A -> ( C +o x ) = ( C +o suc A ) )
9	8	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc A -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc A -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) )
11		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( C +o x ) = ( C +o y ) )
12	11	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) )
13	12	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) )
14		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( C +o x ) = ( C +o suc y ) )
15	14	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
17		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( C +o x ) = ( C +o B ) )
18	17	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
20		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A )
21	20	a1ii 27	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. On -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
22		sssucid 4964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C +o y ) C_ suc ( C +o y )
23		sstr2 3506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
24	22, 23	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) )
25		oasuc 7192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
26	25	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
27	26	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) <-> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
28	24, 27	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
31	30	a2d 26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
32		sucssel 4979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
33	7, 32	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( suc A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
34		limsuc 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
35	34	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim x -> ( A e. x -> suc A e. x ) )
36	33, 35	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ suc A e. On ) -> ( suc A C_ x -> suc A e. x ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> suc A e. x )
38		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = suc A -> ( C +o y ) = ( C +o suc A ) )
39	38	ssiun2s 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. x -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
42		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
43		oalim 7200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
44	42, 43	mpanr1 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
45	44	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
46	45	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
48	41, 47	sseqtr4d 3536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) )
49	48	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) )
50	49	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc A C_ y -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) ) )
51	10, 13, 16, 19, 21, 31, 50	tfindsg 6694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ B ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
52	51	exp31 604	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( suc A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
53	7, 52	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
54	53	com4r 86	. . . . . . . 8 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
55	54	imp31 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
56		oasuc 7192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C +o suc A ) = suc ( C +o A ) )
57	56	sseq1d 3526	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) <-> suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( C +o A ) e. _V
59		sucssel 4979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +o A ) e. _V -> ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
61	57, 60	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
62	61	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
63	6, 55, 62	3syld 55	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
64	63	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
65	64	an32s 804	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) /\ A e. On ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
66	2, 65	mpdan 668	. . 3 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
67	66	ex 434	. 2 |- ( ( C e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
68	67	ancoms 453	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   U_ciun 4332   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   +o coa 7145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152

This theorem is referenced by:  oaord  7214  oaass  7228  odi  7246