Theorem oaordi 7265

Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaordi	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem oaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5455	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	adantll 728	. . . 4 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> A e. On )
3		eloni 5440	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> Ord B )
4		ordsucss 6664	. . . . . . . . 9 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
6	5	ad2antlr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
7		sucelon 6663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
8		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc A -> ( C +o x ) = ( C +o suc A ) )
9	8	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc A -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
10	9	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc A -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) )
11		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( C +o x ) = ( C +o y ) )
12	11	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) )
13	12	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) )
14		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( C +o x ) = ( C +o suc y ) )
15	14	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
16	15	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
17		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( C +o x ) = ( C +o B ) )
18	17	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
19	18	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
20		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A )
21	20	2a1i 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. On -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
22		sssucid 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C +o y ) C_ suc ( C +o y )
23		sstr2 3425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) )
25		oasuc 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
26	25	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
27	26	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) <-> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
28	24, 27	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
29	28	ex 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
30	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
31	30	a2d 28	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
32		sucssel 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
33	7, 32	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( suc A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
34		limsuc 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
35	34	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim x -> ( A e. x -> suc A e. x ) )
36	33, 35	sylan9r 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ suc A e. On ) -> ( suc A C_ x -> suc A e. x ) )
37	36	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> suc A e. x )
38		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = suc A -> ( C +o y ) = ( C +o suc A ) )
39	38	ssiun2s 4313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. x -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
41	40	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
42		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
43		oalim 7252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
44	42, 43	mpanr1 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
45	44	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
46	45	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
47	46	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
48	41, 47	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) )
49	48	ex 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) )
50	49	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc A C_ y -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) ) )
51	10, 13, 16, 19, 21, 31, 50	tfindsg 6706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ B ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
52	51	exp31 615	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( suc A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
53	7, 52	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
54	53	com4r 88	. . . . . . . 8 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
55	54	imp31 439	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
56		oasuc 7244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C +o suc A ) = suc ( C +o A ) )
57	56	sseq1d 3445	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) <-> suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( C +o A ) e. _V
59		sucssel 5522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +o A ) e. _V -> ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
61	57, 60	syl6bi 236	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
62	61	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
63	6, 55, 62	3syld 56	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
64	63	imp 436	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
65	64	an32s 821	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) /\ A e. On ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
66	2, 65	mpdan 681	. . 3 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
67	66	ex 441	. 2 |- ( ( C e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
68	67	ancoms 460	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   U_ciun 4269   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432  (class class class)co 6308   +o coa 7197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204

This theorem is referenced by:  oaord  7266  oaass  7280  odi  7298