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Theorem oaordi 7088
Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaordi  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem oaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4845 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  On )
3 eloni 4830 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
4 ordsucss 6532 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
65ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
7 sucelon 6531 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
8 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
98sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) ) )
11 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1211sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1312imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
14 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1514sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1615imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) ) )
17 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1817sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
1918imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
20 ssid 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2120a1ii 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
22 sssucid 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
23 sstr2 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2422, 23mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
25 oasuc 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2625ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2824, 27syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130a2d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
32 sucssel 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
337, 32sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
34 limsuc 6563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  ->  suc  A  e.  x ) )
3633, 35sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  -> 
( suc  A  C_  x  ->  suc  A  e.  x
) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  suc  A  e.  x )
38 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  +o  y
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
3938ssiun2s 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
42 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
43 oalim 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4442, 43mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4544ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4841, 47sseqtr4d 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  x ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  x ) ) )
5049a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) ) )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) ) ) )
5110, 13, 16, 19, 21, 31, 50tfindsg 6574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
5251exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( suc  A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
537, 52syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5453com4r 86 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5554imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
56 oasuc 7067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
5756sseq1d 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
58 ovex 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
59 sucssel 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6157, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6261adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
636, 55, 623syld 55 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
6463imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6564an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
662, 65mpdan 668 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
6766ex 434 . 2  |-  ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6867ancoms 453 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   U_ciun 4272   Ord word 4819   Oncon0 4820   Lim wlim 4821   suc csuc 4822  (class class class)co 6193    +o coa 7020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-oadd 7027
This theorem is referenced by:  oaord  7089  oaass  7103  odi  7121
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