Theorem oancom 5740

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oancom	|- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 5736	. . . 4 |- om e. On
2		1onn 5310	. . . 4 |- 1o e. om
3		oaabslem 5308	. . . 4 |- ((om e. On /\ 1o e. om) -> (1o +o om) = om)
4	1, 2, 3	mp2an 761	. . 3 |- (1o +o om) = om
5		omex 5733	. . . . 5 |- om e. _V
6	5	sucid 3744	. . . 4 |- om e. suc om
7		oa1suc 5209	. . . . 5 |- (om e. On -> (om +o 1o) = suc om)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (om +o 1o) = suc om
9	6, 8	eleqtrri 1970	. . 3 |- om e. (om +o 1o)
10	4, 9	eqeltri 1967	. 2 |- (1o +o om) e. (om +o 1o)
11		1on 5182	. . . . 5 |- 1o e. On
12		oacl 5215	. . . . 5 |- ((1o e. On /\ om e. On) -> (1o +o om) e. On)
13	11, 1, 12	mp2an 761	. . . 4 |- (1o +o om) e. On
14		oacl 5215	. . . . 5 |- ((om e. On /\ 1o e. On) -> (om +o 1o) e. On)
15	1, 11, 14	mp2an 761	. . . 4 |- (om +o 1o) e. On
16		onelpss 3703	. . . 4 |- (((1o +o om) e. On /\ (om +o 1o) e. On) -> ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) C_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o))))
17	13, 15, 16	mp2an 761	. . 3 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) C_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o)))
18	17	simprbi 353	. 2 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) -> (1o +o om) =/= (om +o 1o))
19	10, 18	ax-mp 7	1 |- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   +o coa 5174

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179

Copyright terms: Public domain