MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oancom Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oancom 8174
Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oancom  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )

Proof of Theorem oancom
StepHypRef Expression
1 omex 8166 . . . 4  |-  om  e.  _V
21sucid 5509 . . 3  |-  om  e.  suc  om
3 omelon 8169 . . . 4  |-  om  e.  On
4 1onn 7358 . . . 4  |-  1o  e.  om
5 oaabslem 7362 . . . 4  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  om )  -> 
( 1o  +o  om )  =  om )
63, 4, 5mp2an 686 . . 3  |-  ( 1o 
+o  om )  =  om
7 oa1suc 7251 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  +o  1o )  =  suc  om )
83, 7ax-mp 5 . . 3  |-  ( om 
+o  1o )  =  suc  om
92, 6, 83eltr4i 2562 . 2  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  ( om  +o  1o )
10 1on 7207 . . . . 5  |-  1o  e.  On
11 oacl 7255 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( 1o  +o  om )  e.  On )
1210, 3, 11mp2an 686 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  On
13 oacl 7255 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  +o  1o )  e.  On )
143, 10, 13mp2an 686 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  e.  On
15 onelpss 5470 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  +o  om )  e.  On  /\  ( om  +o  1o )  e.  On )  ->  (
( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  <->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) ) ) )
1612, 14, 15mp2an 686 . . 3  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o ) 
<->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om  +o  1o ) ) )
1716simprbi 471 . 2  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  ->  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) )
189, 17ax-mp 5 1  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    C_ wss 3390   Oncon0 5430   suc csuc 5432  (class class class)co 6308   omcom 6711   1oc1o 7193    +o coa 7197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator