Theorem oancom 4695

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oancom	|- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4691	. . . 4 |- om e. On
2		1onn 4311	. . . 4 |- 1o e. om
3		oaabslem 4309	. . . 4 |- ((om e. On /\ 1o e. om) -> (1o +o om) = om)
4	1, 2, 3	mp2an 709	. . 3 |- (1o +o om) = om
5		omex 4689	. . . . 5 |- om e. V
6	5	sucid 3108	. . . 4 |- om e. suc om
7		oa1suc 4222	. . . . 5 |- (om e. On -> (om +o 1o) = suc om)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (om +o 1o) = suc om
9	6, 8	eleqtrri 1594	. . 3 |- om e. (om +o 1o)
10	4, 9	eqeltri 1591	. 2 |- (1o +o om) e. (om +o 1o)
11		1on 4196	. . . . 5 |- 1o e. On
12		oacl 4228	. . . . 5 |- ((1o e. On /\ om e. On) -> (1o +o om) e. On)
13	11, 1, 12	mp2an 709	. . . 4 |- (1o +o om) e. On
14		oacl 4228	. . . . 5 |- ((om e. On /\ 1o e. On) -> (om +o 1o) e. On)
15	1, 11, 14	mp2an 709	. . . 4 |- (om +o 1o) e. On
16		onelpss 3055	. . . 4 |- (((1o +o om) e. On /\ (om +o 1o) e. On) -> ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o))))
17	13, 15, 16	mp2an 709	. . 3 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o)))
18	17	pm3.27bi 333	. 2 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) -> (1o +o om) =/= (om +o 1o))
19	10, 18	ax-mp 7	1 |- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632   (_ wss 2098  Oncon0 3005  suc csuc 3007  omcom 3188  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   +o coa 4188

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4191  df-oadd 4193

Copyright terms: Public domain