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Theorem oalimcl 7211
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oalimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4931 . . 3  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 oacl 7187 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
3 eloni 4878 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  B
) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
6 0ellim 4930 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
7 n0i 3775 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
98ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  B  =  (/) )
10 oa00 7210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) ) ) )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
1210, 11syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
1312con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
141, 13sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
159, 14mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) )
16 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1716sucid 4947 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
18 oalim 7184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
19 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) ) )
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) ) )
2120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) )
2217, 21syl5eleq 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
23 eliun 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
25 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
261, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
27 onnbtwn 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
28 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3226, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
34 oacl 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  x
)  e.  On )
35 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
36 ordsucelsuc 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord  ( A  +o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
38 oasuc 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3938eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  +o  x ) ) )
4037, 39bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
4126, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
42 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4342bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4441, 43sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
451adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
46 sucelon 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
4726, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  suc  x  e.  On )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On ) )
49 oaord 7198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
50493expa 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5148, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5251ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5444, 53bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  B  e.  suc  x ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
5655exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( A  e.  On  ->  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5756com4l 84 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5857imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
5933, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)
6059exp44 613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  C  /\  Lim  B )  -> 
( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) ) )
6160imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) )
6261rexlimdv 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6362adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6424, 63mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6564expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) )
6665pm2.01d 169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6766adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6867nrexdv 2899 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y )
69 ioran 490 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  +o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
7015, 68, 69sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
71 dflim3 6667 . 2  |-  ( Lim  ( A  +o  B
)  <->  ( Ord  ( A  +o  B )  /\  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) ) )
725, 70, 71sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   (/)c0 3770   U_ciun 4315   Ord word 4867   Oncon0 4868   Lim wlim 4869   suc csuc 4870  (class class class)co 6281    +o coa 7129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136
This theorem is referenced by:  oaass  7212  odi  7230  wunex3  9122
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