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Theorem oalimcl 7261
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oalimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 5486 . . 3  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 oacl 7237 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
3 eloni 5433 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  B
) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan2 477 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
6 0ellim 5485 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
7 n0i 3736 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
98ad2antll 735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  B  =  (/) )
10 oa00 7260 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) ) ) )
11 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
1210, 11syl6bi 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
1312con3d 139 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
141, 13sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
159, 14mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) )
16 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1716sucid 5502 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
18 oalim 7234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
19 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) ) )
2018, 19syl5ib 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) ) )
2120imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) )
2217, 21syl5eleq 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
23 eliun 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
2422, 23sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
25 onelon 5448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
261, 25sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
27 onnbtwn 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
28 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
2927, 28sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3226, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3332ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
34 oacl 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  x
)  e.  On )
35 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
36 ordsucelsuc 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord  ( A  +o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
38 oasuc 7226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3938eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  +o  x ) ) )
4037, 39bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
4126, 40sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
42 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4342bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4441, 43sylan9bbr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
451adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
46 sucelon 6644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
4726, 46sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  suc  x  e.  On )
4845, 47jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On ) )
49 oaord 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
50493expa 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5148, 50sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5251ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5444, 53bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  B  e.  suc  x ) )
5554biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
5655exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( A  e.  On  ->  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5756com4l 87 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5857imp32 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
5933, 58mtod 181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)
6059exp44 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  C  /\  Lim  B )  -> 
( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) ) )
6160imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) )
6261rexlimdv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6362adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6424, 63mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6564expcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) )
6665pm2.01d 173 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6766adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6867nrexdv 2843 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y )
69 ioran 493 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  +o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
7015, 68, 69sylanbrc 670 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
71 dflim3 6674 . 2  |-  ( Lim  ( A  +o  B
)  <->  ( Ord  ( A  +o  B )  /\  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) ) )
725, 70, 71sylanbrc 670 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   (/)c0 3731   U_ciun 4278   Ord word 5422   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   suc csuc 5425  (class class class)co 6290    +o coa 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186
This theorem is referenced by:  oaass  7262  odi  7280  wunex3  9166
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