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Theorem oalimcl 7201
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oalimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4930 . . 3  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 oacl 7177 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
3 eloni 4877 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  B
) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
6 0ellim 4929 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
7 n0i 3788 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
98ad2antll 726 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  B  =  (/) )
10 oa00 7200 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) ) ) )
11 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
1210, 11syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
1312con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
141, 13sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
159, 14mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) )
16 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1716sucid 4946 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
18 oalim 7174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
19 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) ) )
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) ) )
2120imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) )
2217, 21syl5eleq 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
23 eliun 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
25 onelon 4892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
261, 25sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
27 onnbtwn 4958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
28 imnan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3226, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3332ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
34 oacl 7177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  x
)  e.  On )
35 eloni 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
36 ordsucelsuc 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord  ( A  +o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
38 oasuc 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3938eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  +o  x ) ) )
4037, 39bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
4126, 40sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
42 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4342bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4441, 43sylan9bbr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
451adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
46 sucelon 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
4726, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  suc  x  e.  On )
4845, 47jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On ) )
49 oaord 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
50493expa 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5148, 50sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5251ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
5352adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5444, 53bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  B  e.  suc  x ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
5655exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( A  e.  On  ->  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5756com4l 84 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5857imp32 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
5933, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)
6059exp44 611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  C  /\  Lim  B )  -> 
( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) ) )
6160imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) )
6261rexlimdv 2944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6362adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6424, 63mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6564expcom 433 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) )
6665pm2.01d 169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6766adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6867nrexdv 2910 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y )
69 ioran 488 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  +o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
7015, 68, 69sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
71 dflim3 6655 . 2  |-  ( Lim  ( A  +o  B
)  <->  ( Ord  ( A  +o  B )  /\  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) ) )
725, 70, 71sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   (/)c0 3783   U_ciun 4315   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869  (class class class)co 6270    +o coa 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126
This theorem is referenced by:  oaass  7202  odi  7220  wunex3  9108
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