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Theorem oalimcl 6991
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oalimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4774 . . 3  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 oacl 6967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
3 eloni 4721 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  B
) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
6 0ellim 4773 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
7 n0i 3635 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
98ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  B  =  (/) )
10 oa00 6990 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) ) ) )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
1210, 11syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
1312con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
141, 13sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
159, 14mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) )
16 vex 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1716sucid 4790 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
18 oalim 6964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
19 eqeq1 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) ) )
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) ) )
2120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) )
2217, 21syl5eleq 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
23 eliun 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
25 onelon 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
261, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
27 onnbtwn 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
28 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3226, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
34 oacl 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  x
)  e.  On )
35 eloni 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
36 ordsucelsuc 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord  ( A  +o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
38 oasuc 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3938eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  +o  x ) ) )
4037, 39bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
4126, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
42 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4342bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4441, 43sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
451adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
46 sucelon 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
4726, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  suc  x  e.  On )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On ) )
49 oaord 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
50493expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5148, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5251ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5444, 53bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  B  e.  suc  x ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
5655exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( A  e.  On  ->  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5756com4l 84 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5857imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
5933, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)
6059exp44 613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  C  /\  Lim  B )  -> 
( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) ) )
6160imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) )
6261rexlimdv 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6362adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6424, 63mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6564expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) )
6665pm2.01d 169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6766adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6867nrexdv 2813 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y )
69 ioran 490 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  +o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
7015, 68, 69sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
71 dflim3 6453 . 2  |-  ( Lim  ( A  +o  B
)  <->  ( Ord  ( A  +o  B )  /\  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) ) )
725, 70, 71sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2710   (/)c0 3630   U_ciun 4164   Ord word 4710   Oncon0 4711   Lim wlim 4712   suc csuc 4713  (class class class)co 6086    +o coa 6909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916
This theorem is referenced by:  oaass  6992  odi  7010  wunex3  8900
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