Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oacomf1o Unicode version

Theorem oacomf1o 6767
 Description: Define a bijection from to . Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7562). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1
Assertion
Ref Expression
oacomf1o
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . . . 7
21oacomf1olem 6766 . . . . . 6
32simpld 446 . . . . 5
4 eqid 2404 . . . . . . . . 9
54oacomf1olem 6766 . . . . . . . 8
65ancoms 440 . . . . . . 7
76simpld 446 . . . . . 6
8 f1ocnv 5646 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 incom 3493 . . . . . 6
116simprd 450 . . . . . 6
1210, 11syl5eq 2448 . . . . 5
132simprd 450 . . . . 5
14 f1oun 5653 . . . . 5
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1185 . . . 4
16 oacomf1o.1 . . . . 5
17 f1oeq1 5624 . . . . 5
1816, 17ax-mp 8 . . . 4
1915, 18sylibr 204 . . 3
20 oarec 6764 . . . 4
21 f1oeq2 5625 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3
2319, 22mpbird 224 . 2
24 oarec 6764 . . . . 5
2524ancoms 440 . . . 4
26 uncom 3451 . . . 4
2725, 26syl6eq 2452 . . 3
28 f1oeq3 5626 . . 3
2927, 28syl 16 . 2
3023, 29mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   cun 3278   cin 3279  c0 3588   cmpt 4226  con0 4541  ccnv 4836   crn 4838  wf1o 5412  (class class class)co 6040   coa 6680 This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7612 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687
 Copyright terms: Public domain W3C validator